Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. LE CURVE
Esempio
Es. 5.9.1 La curva di equazione polare r = 4 è data da tutti i punti (r, θ) con r = 4. Dal
momento che r rappresenta la distanza dei punti dal polo (l’origine del piano polare), la
curva data rappresenta il cerchio di centro il polo O e raggio 4.
Esempio
Es. 5.9.2 La curva polare θ = π/5 consiste di tutti i punti (r, θ) con θ = π/5 radianti.
Abbiamo quindi una retta che passa per O e che forma un angolo di π/5 radianti con
l’asse polare.
Esempio
Es. 5.9.3 Troviamo le equazioni cartesiane della curva polare r = 2 cos θ.
Se proviamo a fare il grafico della curva sul piano polare, al variare di θ, ci accorgiamo
che il grafico rappresenta una circonferenza.
Per passare a coordinate cartesiane, da x = r cos θ abbiamo cos θ = x/r quindi r = 2 cos θ =
2x/r, cioè r 2 = 2x ma r 2 = x 2 +y 2 , da cui x 2 +y 2 = 2x o ancora x 2 +y 2 −2x = 0. Aggiungendo
e sottraendo 1 abbiamo
x 2 + y 2 − 2x + 1 − 1 = 0 cioè (x − 1) 2 + y 2 = 1
Abbiamo l’equazione della circonferenza di centro (1, 0) e raggio 1.
5.9.1 La curva cardioide
Studiamo ora la curva cardioide, chiamata in questo modo perchè a forma di cuore, data
dall’equazione r = 1 + sin θ.
Per farne il grafico, facciamo prima di tutto il grafico, in coordinate cartesiane, della
funzione r = 1 + sin θ (si veda Figura 5.13, a sinistra), che altro non è che la funzione sin a
cui è aggiunta un’unità. Per θ che varia da 0 a π/2, r cresce da 1 a 2. Ma r rappresenta
la distanza dal polo in coordinate polari, perció nel grafico in coordinate polari dobbiamo
far variare r da 1 a 2 (indichiamo con ➀ questa porzione di curva). Per θ che varia da π/2
a π, r decresce da 2 a 1 perciò nella corrispondente curva polare dobbiamo rappresentare
questa decrescita (indicata nella regione ➁). Per θ ∈ [π, 3π/2] r decresce da 1 a 0 e si ha la
corrispondente portione ➂ della curva polare. Infine, per θ ∈ [3π/2, 2π] r aumenta da 0 a 1,
come mostrato nella porzione ➃.
Se θ dovesse andare oltre 2π, la curva ripercorrebbe lo stesso percorso.
5.10 Lunghezza di una curva polare
Se vogliamo calcolare la lunghezza di una curva in coordinate polari, la formula che
abbiamo dato per la lunghezza di una curva parametrica si semplifica. Infatti, se passiamo a
coordinate cartesiane, le equazioni che caratterizzano la curva polare r = f(θ) con θ 0 ≤ θ ≤ θ f
sono date da
x = r cos θ = f(θ) cos θ,
y = r sin θ = f(θ) sin θ
Quindi x e y sono funzioni di θ. Assumendo che f ′ sia una funzione continua, la lunghezza
della curva è data dalla formula
√
∫ θf (dx ) 2 ( ) 2 dy
L =
+ dθ
dθ dθ
74
θ 0