Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.10. Lunghezza di una curva polare
Figura 5.14: Spirale di Archimede con k = 2 e θ f = 2π (a sinistra) e θ f = 10π (a destra)
Per capire come si arriva al risultato, vediamo nei dettagli la sua risoluzione (specie perchè
si tratta di un integrale che può capitare di incontrare anche in altre occasioni). 1
Calcoliamo quindi l’integrale ∫ √ 1 + x 2 dx (per semplicità consideriamo l’integrale
indefinito e usiamo x al posto di θ).
Facciamo un cambiamento di variabile ponendo x = tan u. Sappiamo che D(tan u) =
1
cos 2 u . La funzione 1
viene chiamiata anche secante (trigonometrica) e indicata con il
cos u
simbolo sec u (sec u = 1 ). Per semplicità useremo anche noi questa terminologia.
cos u
Consideriamo, inoltre, queste relazioni che useremo nel seguito:
G 1 + tan 2 u = 1 + sin2 u
cos 2 u = cos2 u + sin 2 u
cos 2 = 1
u cos 2 u = sec2 u
1
G D(sec u) = D(
cos u ) = sin u
cos 2 u = tan u = tan u sec u
cos u
1
Tornando all’integrale, da x = tan u si ha dx = D(tan u)du =
cos 2 u du = sec2 udu.
Sostituendo si ha
I =
∫ √1
+ x2 dx =
∫ √
1 + tan 2 u sec 2 udu
Per la relazione 1 + tan 2 u = sec 2 u si ha
I =
∫ √sec2
u sec 2 udu
Poichè u = arctan x, si ha −π/2 ≤ u ≤ π/2 e in questo intervallo cos u ≥ 0 da cui sec u ≥ 0,
quindi √ sec u = sec u. Allora
∫ √sec2
∫
I = u sec 2 udu = sec 3 udu
L’integrale in sec 3 u si risolve riconducendosi all’integrale di sec u. Risolviamo prima quest’ultimo
integrale (usando degli accorgimenti: come vedete, la strada per risolvere l’integrale
di partenza è molto lunga).
∫
∫
sec udu =
=
sec u + tan u
sec u
sec u + tan u du
∫ sec 2 u + sec u tan u
du
sec u + tan u
1 Se ci dovesse capitare di risolvere un esercizio arrivando ad un integrale del genere, dovremo ricordarci che
esiste tutta questa lunga procedura che ci apprestiamo a descrivere per giungere alla formula finale (e quindi
torneremo su questi appunti per ricordarci quale sia il risultato dell’integrale).
77