Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6.2. Piano tangente a una superficie parametrica
Il grafico della sfera usando le coordinate sferiche è in Figura 6.5 a destra. Osserviamo
come la superficie sia ben rappresentata. In questo caso le curve coordinate
per φ costante sono delle circonferenze di valore costante (che corrispondono ai noti
paralleli che si studiano in geografia). Per θ costante abbiamo invece i meridiani
(semicirconferenze perchè 0 ≤ φ ≤ π) che collegano polo nord e polo sud.
6.2 Piano tangente a una superficie parametrica
Data una superficie parametrica S di equazione ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), vogliamo
calcolare l’equazione del piano tangente alla superficie in un punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) che vi
appartiene. Esiste quindi una coppia di valori (u 0 , v 0 ) tale che P 0 = ⃗r(u 0 , v 0 ).
Per calcolare il piano tangente, facciamo questo tipo di ragionamento. Fissando u =
u 0 , le equazioni parametriche della superficie diventano ⃗r(u 0 , v) = (x(u 0 , v), y(u 0 , v), z(u 0 , v)):
abbiamo una funzione vettoriale che dipende dalla sola variabile v e che definisce una curva
parametrica γ 1 nello spazio R 3 . Questa curva giace sulla superficie S.
Scriviamo le equazioni parametriche della retta tangente a questa curva (si veda pag. 80),
considerando che quella che è la derivata della funzione x(u 0 , v) rispetto a v nel punto v = v 0
altro non è che la derivata parziale della funzione x(u, v) rispetto a v nel punto (u 0 , v 0 ) (stesso
discorso vale per y e per z). Otteniamo
retta ⃗ tv = (x 0 + t ∂x(u 0, v 0 )
∂v
, y 0 + t ∂y(u 0, v 0 )
∂v
, z 0 + t ∂z(u 0, v 0 )
)
∂v
Abbiamo chiamato questa retta con retta ⃗ tv perchè è la retta tangente alla curva che dipende
dalla variabile v poichè u = u 0 costante. Di conseguenza, la pendenza di questa retta, vale a
dire, la tangente alla curva γ 1 nel punto x(u 0 , v 0 ), y(u 0 , v 0 ) è data dal vettore
⃗r tv = ( ∂x(u 0, v 0 )
∂v
, ∂y(u 0, v 0 )
∂v
, ∂z(u 0, v 0 )
)
∂v
Allo stesso modo, possiamo fissare v = v 0 e considerare che le equazioni parametriche della
superficie, in questo caso, si riducono alle equazioni parametriche di una curva nello
spazio R 3 che dipendono dalla variabile u. Analogamente, possiamo scrivere le equazioni
parametriche della retta tangente a questa curva nel punto P 0 , ottenendo
retta ⃗ tu = (x 0 + t ∂x(u 0, v 0 )
∂u
, y 0 + t ∂y(u 0, v 0 )
∂u
La pendenza di questa retta è data dal vettore
⃗r tu = ( ∂x(u 0, v 0 )
∂u
, ∂y(u 0, v 0 )
∂u
, ∂z(u 0, v 0 )
)
∂u
, z 0 + t ∂z(u 0, v 0 )
)
∂u
Una volta ottenute queste due rette, il piano tangente alla superficie è il piano individuato
dalle direzioni di queste due rette, cioè dai due vettori ⃗r tu e ⃗r tv . Consideriamo dei brevi
richiami sulle equazioni di un piano in R 3 .
6.2.1 Equazione di un piano e vettore normale al piano
Supponiamo di avere un punto P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) su un piano nello spazio R 3 . Supponiamo
di avere anche un vettore ⃗n che è normale a questo piano:
Assumiamo di conoscere un altro generico punto P = (x, y, z) che giace sul piano.
Indichiamo con ⃗r e ⃗r 0 i vettori che ci indicano i due punti P e P 0 rispettivamente (si
veda figura 6.6). Possiamo costruire il vettore ⃗r − ⃗r 0 che giace interamente nel piano. Per
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