Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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9. FORME DIFFERENZIALI Vale infatti il seguente teorema Teorema 9.2.1 Data una forma differenziale ω e una curva regolare +γ si ha ∫ ∫ ω = − ω −γ +γ Dimostrazione. Dimostriamo questo teorema considerando che se una curva +γ è data da f = (x(t), y(t)) con a ≤ t ≤ b, la curva opposta si può scrivere come −γ con F = (˜x(t), ỹ(t)) = (x(−t), y(−t)) con −b ≤ t ≤ −a Quindi ˜x ′ (t) è uguale alla derivata della funzione x(−t) che va vista come la funzione composta x(h(t)) con h(t) = −t. Derivando, quindi, si ha la derivata di x valutata in h(t) = −t per la derivata di h(t) che vale −1, da cui: ˜x ′ (t) = x ′ (−t)(−1) = −x ′ (−t). Analogamente, vale ỹ(−t) = −y ′ (−t). Allora ∫ ∫ −a ω = (X(˜x(t), ỹ(t))˜x ′ (t) + Y (˜x(t), ỹ(t)), ỹ ′ (t)) dt −γ = = −b ∫ −a −b ∫ −a −b (X(x(−t), y(−t))(−x ′ (−t)) + Y (x(−t), y(−t)), (−y ′ (−t))) dt − (X(x(−t), y(−t))x ′ (−t) + Y (x(−t), y(−t))y ′ (−t)) dt facendo il cambiamento di variabili u = −t, du = −dt e considerando che per t = −b, u = b, e per t = −a, u = a = ∫ a b ∫ b = − ∫ = − (X(x(u), y(u))x ′ (u) + Y (x(u), y(u))y ′ (u)) du a +γ (X(x(u), y(u))x ′ (u) + Y (x(u), y(u))y ′ (u)) du ω ✔ Quindi nel fare gli integrali curvilinei delle forme differenziali occorre prestare molta attenzione all’orientamento della curva. Per questo motivo, gli integrali curvilinei delle forme differenziali sono detti integrali orientati. Invece, anche per le forme differenziali, l’integrale curvilineo non dipende dal tipo di rappresentazione utilizzata per la curva, cioè non dipende dalla scelta della rappresentazione parametrica. Si ha infatti la seguente proposizione Proposizione 9.2.1 L’integrale curvilineo ∫ ω non dipende dalla particolare rappresentazione della curva regolare +γ +γ. Dimostrazione. Sia data la curva +γ tramite la funzione f = (x(t), y(t)), con a ≤ t ≤ b o, in maniera equivalente, tramite la funzione F = (x F (u), y F (u)), con α ≤ u ≤ β . Sappiamo che, dovendo rappresentare la medesima curva, le due funzioni f e F sono legate tra loro mediante una funzione φ : [α, β] ⇒ [a, b] con φ ′ (u) > 0, tale che φ(α) = a, φ(β) = b e F(u) = f(φ(u)) Torniamo all’integrale curvilineo. Da una parte ∫ +γ ω = ∫ b a (X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt 142
9.3. Applicazione delle forme differenziali Dall’altra si ha: ∫ ∫ β ω = (X(x F (u), y F (u))x ′ F (u) + Y (x F (u), y F (u))y F ′ (u)) du +γ α Ma per la relazione che lega F a f si ha: F(u) = f(φ(u)) (x F (u), y F (u)) = (x(φ(u), y(φ(u)) +γ x ′ F (u) = x ′ (φ(u))φ ′ (u) y ′ F (u) = y ′ (φ(u))φ ′ (u) Quindi si ha ∫ ∫ β ω = (X(x F (u), y F (u))x ′ F (u) + Y (x F (u), y F (u))y F ′ (u)) du = α ∫ β α (X(x(φ(u)), y(φ(u)))x ′ (φ(u))φ ′ (u) + Y (x(φ(u)), y(φ(u)))y ′ (φ(u))φ ′ (u)) du mettendo in evidenza φ ′ (u) = ∫ β α (X(x(φ(u)), y(φ(u)))x ′ (φ(u)) + Y (x(φ(u)), y(φ(u)))y ′ (φ(u))) φ ′ (u)du operando il cambiamento di variabili t = φ(u) e considerando dt = φ ′ (u)du e il cambiamento agli estremi u = α ⇒ t = a, u = β ⇒ t = b = ∫ b a (X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt Abbiamo provato che la rappresentazione parametrica della curva non influisce sul risultato finale perchè gli integrali coincidono qualunque sia la rappresentazione parametrica per descrivere la stessa curva. ✔ Per gli integrali curvilinei sulle forme differenziali valgono anche le seguenti proprietà: G se c ∈ R, ∫ +γ cω = c ∫ +γ ω G ∫ +γ ω 1 + ω 2 = ∫ +γ ω 1 + ∫ +γ ω 2 G se la curva +γ viene suddivisa in un certo numero k di curve regolari, tali che +γ = +γ 1 ∪+γ 2 ∪. . .∪+γ k o se la curva è regolare a tratti, allora ∫ +γ ω = ∫ +γ 1 ω+ ∫ +γ 2 ω+. . .+ ∫ +γ k ω 9.3 Applicazione delle forme differenziali In molte applicazioni soprattutto nella fisica, ci si trova a lavorare con funzioni vettoriali da integrare su curve. Sia F ⃗ = X(x, y)⃗i + Y (x, y)⃗j una funzione vettoriale (scritta in funzione dei versori degli assi x e y rispettivamente). Sia data una curva regolare +γ data da ⃗r = x(t)⃗i + y(t)⃗j (è la stessa cosa di scrivere f = (x(t), y(t)))) con a ≤ t ≤ b. Si definisce integrale curvilineo del vettore F ⃗ lungo la curva +γ l’integrale ∫ ∫ b ⃗F · d⃗r = ⃗F (⃗r) · ⃗r ′ (t)dt +γ a Poichè F ⃗ (⃗r) = F ⃗ (x(t), y(t)) = X(x(t), y(t))⃗i + Y (x(t), y(t))⃗j e ⃗r ′ (t) = x ′ (t)⃗i + y ′ (t)⃗j, risulta ∫ ∫ b ⃗F · d⃗r = (X(x(t), y(t))⃗i + Y (x(t), y(t))⃗j) · (x ′ (t)⃗i + y ′ (t)⃗j)dt +γ = a ∫ b a (X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt 143
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Annamaria Mazzia Note di Analisi Ma
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INDICE 4.7 Estremi vincolati e molt
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