Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

More documents

Recommendations

Info

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 8.9 L’equazione omogenea Torniamo all’equazione differenziale omogenea L(y) = 0 e cerchiamo di caratterizzare le sue soluzioni. Sia L(y) = y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y e sia data l’equazione differenziale L(y) = 0. Siano y 1 , y 2 , . . . , y n n integrali particolari, per x ∈ [a, b], dell’equazione differenziale omogenea. Per capire se questi integrali sono linearmente indipendenti, abbiamo bisogno di introdurre il cosiddetto determinante wronskiano o, semplicemente, il wronskiano delle funzioni y 1 , y 2 , . . . , y n , che è dato dalla funzione w(x) definita per x ∈ [a, b] mediante il determinante y 1 (x) y 2 (x) . . . y n (x) y 1(x) ′ y 2(x) ′ . . . y ′ n(x) w(x) = y 1 ′′ (x) y 2 ′′ (x) . . . y n(x) ′′ . . . . . . ∣y (n−1) 1 (x) y (n−1) 2 (x) . . . y n (n−1) (x) ∣ Teorema 8.9.1 Sia dato l’operatore L definito tramite le n funzioni a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x), continue in un intervallo aperto ]a, b[⊂ R. Siano y 1 (x), y 2 (x), . . . , y n (x) n funzioni diverse da zero che soddisfano l’equazione differenziale: L(y 1 ) = L(y 2 ) = · · · = L(y n ) = 0 Condizione necessaria e sufficiente affinchè le n soluzioni siano linearmente indipendenti è che sia diverso da zero per ogni valore di x ∈]a, b[, il wronskiano w(x). Teorema 8.9.2 Lo spazio delle funzioni che sono soluzione dell’equazione omogenea L(y) = 0 (lo spazio nullo N) ha dimensione n, ovvero, l’equazione omogenea L(y) = 0 ammette sempre un sistema di n integrali linearmente indipendenti. Dimostrazione. Si fissi x 0 ∈ R e si considerino gli n problemi di Cauchy (1)L(y) = 0, y(x 0 ) = 1, y ′ (x 0 ) = 0, y ′′ (x 0 ) = 0, . . . y (n−1) (x 0 ) = 0 (2)L(y) = 0, y(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 1, y ′′ (x 0 ) = 0, . . . y (n−1) (x 0 ) = 0 (3)L(y) = 0, y(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 0, y ′′ (x 0 ) = 1, . . . y (n−1) (x 0 ) = 0 . (n)L(y) = 0, y(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 0, y ′′ (x 0 ) = 0, . . . y (n−1) (x 0 ) = 1 Quindi l’i-mo problema di Cauchy ha condizioni iniziali tutte nulle, eccetto la derivata y (i−1) che in x 0 vale 1. Per ciascuno di questi problemi di Cauchy, la soluzione esiste ed è unica (per il teorema di esistenza e unicità visto prima). Consideriamo ora il wronskiano delle n funzioni y i (per i = 1, 2, . . . , n) che sono soluzioni di questi problemi di Cauchy: 130 w(x) = ∣ y 1 (x) y 2 (x) . . . y n (x) y 1(x) ′ y 2(x) ′ . . . y n(x) ′ y 1 ′′ (x) y 2 ′′ (x) . . . y n(x) ′′ . . . . . . 1 (x) y (n−1) 2 (x) . . . y n (n−1) (x) ∣ y (n−1)
8.10. L’equazione non omogenea Valutiamo w(x) per x = x 0 . Si ha 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 w(x 0 ) = . . . . . . ∣0 0 . . . 1∣ Risulta che w(x 0 ) è il determinante della matrice identità, che ha uno sugli elementi della diagonale principale e zero altrove. Il determinante di questa matrice vale 1, quindi è diverso da zero. Poichè x 0 è stato scelto in modo arbitrario in R, vuole dire che le n soluzioni dell’equazioni differenziali sono linearmente indipendenti (in base al teorema 8.9.1). Abbiamo trovato dunque n funzioni linearmente indipendenti che risolvono l’equazione omogenea L(y) = 0. Queste n funzioni costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni dell’equazione L(y) = 0. ✔ Definizione 8.9.1 Una n-pla di funzioni y 1 , y 2 , . . . , y n che sono soluzioni linearmente indipendenti di L(y) = 0 prende il nome di sistema fondamentale di integrali di L(y) = 0. Se conosciamo n soluzioni linearmente indipendenti di L(y) = 0, la generica soluzione di L(y) = 0 è data da una combinazione lineare delle soluzioni linearmente indipendenti. Questa generica soluzione prende il nome di integrale generale. Si ha il seguente teorema Teorema 8.9.3 (Sull’integrale generale di un’equazione omogenea) Dato un sistema fondamentale di integrali y 1 , y 2 , . . . , y n dell’equazione differenziale omogenea L(y) = 0, l’integrale generale è dato dalle combinazioni lineari y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . c n y n con c 1 , c 2 , . . . , c n costanti di R. 8.10 L’equazione non omogenea Sia data ora un’equazione differenziale non omogenea L(y) = b(x) . Sappiamo che ad essa possiamo associare l’equazione differenziale omogenea L(y) = 0 Se conosciamo un integrale particolare dell’equazione non omogenea, y, e conosciamo l’integrale generale dell’equazione omogenea associata, y, allora l’integrale generale dell’equazione non omogenea, che indichiamo con η, è dato dalla somma di y e di y. Vale infatti il seguente teorema. Teorema 8.10.1 Dato y integrale particolare di L(y) = b(x), e dato l’integrale generale y di L(y) = 0, allora l’integrale generale di L(y) = b(x) è dato da η = y + y 131
Page 1:
Annamaria Mazzia Note di Analisi Ma
Page 4 and 5:
INDICE 4.7 Estremi vincolati e molt
Page 7 and 8:
CAPITOLO 1 Brevi richiami di analis
Page 9 and 10:
1.5. Altri teoremi f f ′ f f ′
Page 11:
1.5. Altri teoremi Teorema 1.5.5 (E
Page 14 and 15:
2. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 23 and 24:
CAPITOLO 3 Limiti, continuità, dif
Page 25 and 26:
3.1. Limite di una funzione di più
Page 27 and 28:
3.2. Continuità di una funzione di
Page 29 and 30:
3.3. Derivate parziali Nel primo ca
Page 31 and 32:
3.6. Differenziabilità di una funz
Page 33 and 34:
3.7. Differenziale Dividendo per y
Page 35 and 36:
3.8. Derivata direzionale può scri
Page 37 and 38:
3.10. Piano tangente ad una superfi
Page 39:
3.11. Formula di Taylor Teorema 3.1
Page 42 and 43:
4. MASSIMI E MINIMI Dobbiamo poi mo
Page 44 and 45:
4. MASSIMI E MINIMI Viceversa, supp
Page 46 and 47:
4. MASSIMI E MINIMI Cambiando il se
Page 48 and 49:
4. MASSIMI E MINIMI Figura 4.1: Gra
Page 50 and 51:
4. MASSIMI E MINIMI Questo teorema
Page 52 and 53:
4. MASSIMI E MINIMI grado (supponen
Page 54 and 55:
4. MASSIMI E MINIMI Questa che abbi
Page 56 and 57:
4. MASSIMI E MINIMI Figura 4.5: Cur
Page 58 and 59:
4. MASSIMI E MINIMI 4.7 Estremi vin
Page 60 and 61:
4. MASSIMI E MINIMI Figura 4.9: Cur
Page 63 and 64:
CAPITOLO 5 Le curve A quelli che no
Page 65 and 66:
5.1. Equazioni parametriche di una
Page 67 and 68:
5.2. Grafico di una curva parametri
Page 69 and 70:
5.3. Parametrizzare una curva solo
Page 71 and 72:
5.4. Tangente ad una curva Figura 5
Page 73 and 74:
5.6. Lunghezza di una curva Figura
Page 75 and 76:
5.6. Lunghezza di una curva sottoin
Page 77 and 78:
5.8. Sistema di coordinate polari F
Page 79 and 80:
5.9. Curve in coordinate polari Fig
Page 81 and 82:
5.10. Lunghezza di una curva polare
Page 83 and 84:
5.10. Lunghezza di una curva polare
Page 85 and 86: 5.11. Funzioni a valori vettoriali
Page 87: 5.16. L’ascissa curvilinea poligo
Page 90 and 91: 6. SUPERFICI PARAMETRICHE Figura 6.
Page 97 and 98: CAPITOLO 7 Integrali Compito della
Page 99 and 100: 7.2. Richiamo sugli integrali sempl
Page 101 and 102: 7.3. Integrali doppi su domini rett
Page 103 and 104: 7.5. Integrali doppi su domini gene
Page 105 and 106: 7.5. Integrali doppi su domini gene
Page 107 and 108: 7.6. Proprietà degli integrali dop
Page 109 and 110: 7.7. Cambiamento di variabili Figur
Page 111 and 112: 7.7. Cambiamento di variabili Figur
Page 113 and 114: 7.8. Area di un dominio Esempio Es.
Page 115 and 116: 7.10. Integrali curvilinei Si ha, i
Page 117 and 118: 7.11. Integrali di superficie deriv
Page 119 and 120: 7.12. Solidi e superfici di rotazio
Page 121 and 122: 7.12. Solidi e superfici di rotazio
Page 123: 7.12. Solidi e superfici di rotazio
Page 126 and 127: 8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARI
Page 146 and 147: 9. FORME DIFFERENZIALI Infatti poic
Page 148 and 149: 9. FORME DIFFERENZIALI Vale infatti
Page 150 and 151: 9. FORME DIFFERENZIALI Abbiamo ritr
Page 152 and 153: 9. FORME DIFFERENZIALI Dimostrazion
Page 154 and 155: 9. FORME DIFFERENZIALI Ma sappiamo
Page 157: Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
show all

Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?