Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. LE CURVE
Possiamo avere anche tangenti orizzontali o verticali, in un determinato punto di una
curva, a seconda che la derivata di y o x rispetto a t sia nulla:
G si ha una tangente orizzontale quando dy
dt = 0 e dx
dt ≠ 0
G si ha una tangente verticale quando dx
dt = 0 e dy
dt ≠ 0.
Possiamo anche scrivere le equazioni della retta tangente ad una curva parametrica in
forma parametrica. Dato il punto P 0 = (x 0 , y 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 ), i valori delle derivate dx(t 0)
,
dt
dy(t 0 )
rappresentano i valori delle tangenti alla curva, componente per componente. L’equazione
della retta tangente a P 0 , scritta in forma parametrica, deve passare per P 0 e
dt
avere come direzione quella data dal vettore ⃗v che ha come componenti le due derivate
⃗v = ( dx(t 0)
, dy(t 0)
). Scritta in forma vettoriale, la retta tangente deve essere della forma
dt dt
⃗r t = P 0 + t⃗v
dove P 0 è inteso come un vettore, t è il parametro al variare del quale abbiamo i punti della
retta, ⃗v è il vettore che dà la direzione della retta. In forma parametrica abbiamo
⃗r t = (x 0 + t dx(t 0)
dt
, y 0 + t dy(t 0)
)
dt
Osserviamo che, dalle equazioni della tangente x = x 0 + t dx(t 0)
, y = y 0 t dy(t 0)
, se dalla
dt
dt
prima equazione ricaviamo t in funzione di x e sostituiamo nella seconda equazione, troviamo
l’equazione della retta tangente che abbiamo ricavato prima.
5.5 Lunghezza di un arco di funzione
Prima di capire come si calcola la lunghezza di una curva parametrica, partiamo dal voler
calcolare la lunghezza di un arco di funzione: data una funzione continua y = f(x) vogliamo
determinare la lunghezza dell’arco della curva data dalla funzione nell’intervallo [a, b].
Per prima cosa, diamo una stima approssimata della lunghezza di questa curva: dividiamo
l’intervallo [a, b] in n parti uguali di ampiezza ∆x ottenendo sulla curva n + 1 punti
P i , i = 0, 1, 2, . . . , n. Possiamo quindi approssimare la curva mediante una serie di segmenti
congiungenti questi punti. Vediamo in figura 5.6 un esempio con n = 9. Poichè la lunghezza
di ciascuno dei segmenti congiungenti P i−1 e P i altro non è che la distanza euclidea tra i due
punti |P i − P i−1 |, la curva sarà dunque approssimata da
L ≈
n∑
|P i−1 − P i |
i=1
Prendendo valori di n sempre più grandi noi avremo valori via via più accurati. Passando al
limite per n → ∞ avremo la lunghezza dell’arco di curva:
L = lim
n→∞
i=1
n∑
|P i−1 − P i |
Ora, ciascuno punto P i ha coordinate del tipo (x i , f(x i )), da cui
|P i−1 − P i | = √ (x i − x i−1 ) 2 + (f(x i ) − f(x i−1 )) 2
Dal teorema del valor medio sappiamo che f(x i ) − f(x i−1 ) = f ′ (ξ i )(x i − x i−1 ) dove ξ i è un
punto che non conosciamo all’interno dell’intervallo [x i−1 , x i ]. Ricordando che abbiamo diviso
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