Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. INTEGRALI
allora si ha
∫∫
∫∫
g(x, y, z)dS = g(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|⃗r u × ⃗r v |dA
S
I
dove |⃗r u ×⃗r v | rappresenta il modulo del prodotto vettoriale dei vettori che si hanno derivando
parzialmente rispetto a u e rispetto a v le equazioni parametriche della superficie, in modo
da poter avere l’area dell’elementino di superficie dS.
Quindi
⃗i ⃗j ⃗ k
∂y ∂z
∂x ∂z
∂x ∂y
∂x ∂y ∂z
∂u ∂u
∂u ∂u
⃗n = ⃗r u × ⃗r v =
∂u ∂u ∂u
=⃗i
− ⃗j
+ ∂y ∂z
∂x ∂z
⃗ ∂u ∂u
k
∂x ∂y
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v
∣
∣
∂v ∂v ∂v
scambiamo le colonne del sottodeterminante relativo a ⃗j
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
∂u ∂u
∂u ∂u
=⃗i
+ ⃗j
+ ∂y ∂z
∂z ∂x
⃗ ∂u ∂u
k
∂x ∂y
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v
osserviamo che i sottodeterminanti sono degli jacobiani
=⃗i
∂(y, z)
∣∂(u, v) ∣ + ⃗j
∂(z, x)
∣∂(u, v) ∣ + ⃗ k
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣
Chiamando con n 1 , n 2 e n 3 le componenti del vettore normale appena ottenuto, n 1 =
∂(y, z)
∣∂(u, v) ∣ , n 2 =
∂(z, x)
∣∂(u, v) ∣ e n 3 =
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ , il modulo di ⃗n è dato da |⃗n| = √ (n 1 ) 2 + (n 2 ) 2 + (n 3 ) 2 .
Quindi
∫∫
∫∫
g(x, y, z)dS = g(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|⃗r u × ⃗r v |dA
S
D
∫∫
= g(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √ (n 1 ) 2 + (n 2 ) 2 + (n 3 ) 2 dA
D
Se g(x, y, z) = 1 l’integrale di superficie ci fa ritrovare l’area della superficie.
Esempio
Es. 7.11.1 Calcoliamo l’integrale di superficie I = ∫∫ yzdS dove S è la superficie di
S
equazioni parametriche x = u 2 , y = u sin (v), z = u cos (v), con 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ π/2.
L’integrale da calcolare diventa l’integrale doppio
∫∫
I =
D
u sin (v)u cos (v)|⃗r u × ⃗r v |dudv =
∫ 1 ∫ π/2
0
0
u 2 sin (v) cos (v)|⃗r u × ⃗r v |dvdu
Calcoliamo il modulo del prodotto vettoriale. Abbiamo
⃗i ⃗j ⃗ k
⃗r u × ⃗r v =
2u sin (v) cos (v)
∣ 0 u cos (v) −u sin (v) ∣ = . . . = ⃗i(−u) + ⃗j(2u 2 sin (v)) + ⃗ k(2u 2 cos (v))
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