Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Dimostrazione.
Consideriamo η = y + y. Si ha
L(η) = L(y + y)
applicando la linearità di L
= L(y) + L(y)
ma L(y) = 0 e L(y) = b(x)
= b(x)
Quindi η è soluzione dell’equazione differenziale L(y) = b(x).
Supponiamo che y ∗ sia un altro integrale particolare diverso da y, per l’equazione non
omogenea, L(y ∗ ) = b(x), allora y ∗ = y ∗ − y risulta un integrale dell’omogenea associata, in
quanto
L(y ∗ ) = L(y ∗ − y) = L(y ∗ ) − L(y) = b(x) − b(x) = 0
Quindi y ∗ si può scrivere come combinazione lineare di un sistema fondamentale di integrali
dell’equazione omogenea, tramite dei coefficienti c 1 , c 2 , . . . , c n . Perciò y ∗ = y ∗ + y rientra come
caso particolare (perchè y ∗ è caratterizzato da specifici coefficienti) dell’integrale generale
η = y + y, cioè η = y + y è l’unico modo per rappresentare l’integrale generale dell’equazione
non omogenea. ✔
Quindi l’integrale generale dell’equazione differenziale L(y) = b(x), conoscendo n integrali
linearmente indipendenti dell’equazione omogenea associata, e un integrale particolare y
della non omogenea, è dato da dato da
y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . , c n y n + y
8.11 Equazioni lineari a coefficienti costanti
Data l’equazione differenziale
y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)
se a 0 (x) ≡ a 0 , a 1 (x) ≡ a 1 , . . . , a n−1 (x) = a n−1 , tutte le funzioni sono costanti in x, allora
l’equazione differenziale prende il nome di equazione differenziale a coefficienti costanti:
y (n) + a n−1 y (n−1) + . . . + a 1 y ′ + a 0 y = b(x)
Per trovare l’integrale generale dell’equazione lineare a coefficienti costanti, si considera
la cosiddetta equazione caratteristica, che si ricava dall’equazione differenziale omogenea
associata, sostituendo alle derivate della funzione incognita le potenze della variabile z:
P (z) = z n + a n−1 z n−1 + . . . + a 1 z + a 0 = 0
Quindi a y (n) sostituiamo z n , a y (n−1) sostituiamo z n−1 m fino ad arrivare a y che sostituiamo
con z 0 = 1. Il polinomio P (z) prende il nome di polimonio caratteristico. Si cercano le radici
del polinomio caratteristico, cioè i valori di z per cui P (z) = 0 e da queste radici è possibile
risalire (vedremo ora in che modo) all’integrale generale dell’equazione differenziale lineare
omogenea. Occorre poi trovare un integrale particolare per l’equazione non omogenea.
Ricordiamo che un polinomio di grado n ammette n radici: queste radici possono essere
reali o complesse, e possono essere con molteplicità semplice o di un certo grado, ma tali
che la somma dei gradi di ciascuna radice dia il grado del polinomio. Vediamo dei semplici
esempi.
132