Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. INTEGRALI
Esempio
Es. 7.5.1 Nel caso del triangolo mostrato in Figura 7.6, il dominio può essere visto come
l’unione di due domini normali rispetto all’asse x, oppure come un dominio normale
rispetto all’asse y.
Nel primo caso, D = D 1 ∪ D 2 , in quanto la funzione g 1 (x) varia a seconda di dove si trovi
x:
D 1 = {(x, y) t.c. 0 ≤ x ≤ 1, −2x + 3 ≤ y ≤ 3}
{
1
D 2 = (x, y) t.c. 1 ≤ x ≤ 5,
2 x + 1 }
2 ≤ y ≤ 3
Se riscriviamo le equazioni delle due rette y = −2x + 3 e y = 1 2 x + 1 2
in funzione di x
otteniamo, dalla prima, x = − 1 2 y + 3 , e dalla seconda x = 2y − 1, e possiamo scrivere
2
l’insieme D come
D =
{(x, y) t.c. − 1 2 y + 3 }
2 ≤ x ≤ 2y − 1, 1 ≤ y ≤ 3
Esempio
Es. 7.5.2 Calcoliamo ∫∫ D x2 dA dove D è l’insieme delimitato dalle parabole y = 3x 2 e
y = x 2 + 2. Prima di tutta facciamo un grafico dell’insieme D (si veda Figura 7.7). I punti
di intersezione delle due parabole si hanno per 3x 2 = x 2 + 2 cioè 2x 2 − 2 = vale a dire per
x = ±1. Si vede facilmente che il dominio è normale rispetto all’asse x: basta considerare
−1 ≤ x ≤ 1 e 3x 2 ≤ y ≤ x 2 + 2. Infatti la curva che delimita la porzione inferiore della
frontiera dell’insieme è data da y = 3x 2 mentre la porzione superiore della frontiera è
y = x 2 + 2. L’integrale diventa
∫∫
D
x 2 ydA =
=
=
=
∫ 1 ∫ x 2 +2
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1
3x 2
x 2 dydx
[
x 2 y ] y=x 2 +2
y=3x 2
x 2 (x 2 + 2 − 3x 2 )dx
2x 2 − 2x 4 dx =
] 1 [2 x3
3 − 2x5 = 2 2 5
−1
3 − 22 5 = 8 15
Esempio
Es. 7.5.3 Sia da calcolare l’integrale ∫ 1 ∫ 1
0 y sin x2 dxdy. Se cerchiamo di valutare l’integrale
così come ci è stato presentato, abbiamo la difficoltà di dover valutare ∫ sin x 2 dx.
Si tratta, infatti, di uno di quegli integrali impossibili da valutare mediante funzioni elementari!
Ci conviene allora cambiare l’ordine di integrazione. Cerchiamo allora di capire
come { è fatto il dominio di integrazione } D. Da come è scritto l’integrale, risulta
D = (x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1 . Facciamo il grafico (si veda Figura 7.8). Questo
dominio lo possiamo vedere come normale rispetto all’asse x prendendo 0 ≤ x ≤ 1 e
0 ≤ y ≤ x.
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