Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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6. SUPERFICI PARAMETRICHE Figura 6.1: Cilindro di equazioni x = 4 cos u, y = v, z = 4 sin u. Figura 6.2: Cilindro di equazioni x = 4 cos u, y = v, z = 4 sin u con 0 ≤ u ≤ π/4, 0 ≤ v ≤ 1. Esempio Es. 6.1.1 Sia data la superficie di equazioni parametriche x = 4 cos u, y = v, z = 4 sin u Cerchiamo di capire di quale superficie si tratta. Da x 2 + z 2 = 16 cos 2 u + 16 sin 2 u = 16 deduciamo che sezioni verticali parallele al piano xz, vale a dire per y costante, sono tutte circonferenze di raggio 4. Dal momento che l’equazione parametrica per y è proprio y = v, e v ∈ R, la superficie è un cilindro circolare di raggio 4 il cui asse è l’asse delle y (si veda Figura 6.1). Esempio Es. 6.1.2 Nell’esempio di prima, non c’erano limitazioni ai parametri u e v. Se invece poniamo delle limitazioni avremo una porzione di cilindro. Facciamo variare u in [0, π/4] e v in [0, 1]. In Figura 6.2 possiamo osservare la superficie che otteniamo. 84
6.1. Superfici parametriche Figura 6.3: Rappresentazione delle coordinate sferiche. Se una superficie parametrica S è data dalla funzione vettoriale ⃗r(u, v), è utile definire due famiglie di curve che si trovano sulla superficie: una famiglia di curve che si ha considerando u costante e l’altra che si ha considerando v costante. Queste due famiglie corrispondono a linee verticali e orizzontali nel piano uv. Prendendo u = u 0 , la funzione vettoriale ⃗r(u 0 , v) diventa una funzione vettoriale dipendente dal solo parametro v e definisce una curva γ 1 che giace sulla superficie S. Analogamente, per v = v 0 , si ha la curva γ 2 data da ⃗r(u, v 0 ) sulla superficie S. Le due curve prendono il nome di curve coordinate o curve di griglia. I grafici che abbiamo fatto per visualizzare le superfici degli esempi precedenti mostrano queste curve coordinate. 6.1.1 Sistema di coordinate sferiche Per visualizzare il grafico delle superfici, a volte è utile rappresentare le superfici in un sistema di coordinate che non è quello cartesiano. Vediamo nel dettaglio il sistema di coordinate sferiche, dove un punto P che ha coordinate (x, y, z) nello spazio cartesiano viene rappresentato in coordinate sferiche mediante (ρ, θ, φ) (si veda Figura 6.3): ρ rappresenta la distanza del punto P dall’origine dello spazio cartesiano (ρ = √ x 2 + y 2 + z 2 ), θ rappresenta l’angolo che si ha tra la proiezione del punto P sul piano xy e l’asse positivo dell’asse x (in altri termini, è la coordinata polare θ della proiezione di P sul piano xy), mentre φ è l’angolo tra l’asse positivo dell’asse z e il segmento OP . Quindi ρ ≥ 0 e 0 ≤ φ ≤ π. Questo sistema di coordinate è utile in presenza di simmetrie intorno all’origine. La relazione tra coordinate cartesiane e coordinate sferiche, tiene conto delle relazioni trigonometriche. In Figura 6.4 vediamo i due triangoli rettangoli OP Q e OP P ′ . Il triangolo OP Q ha i lati OQ e OP di lunghezza z e ρ rispettivamente, e, per le relazioni sui lati e angoli di un triangolo rettangolo vale z = ρ cos φ. Il triangolo OP P ′ ha uno dei suoi cateti, indicato con r, che è dato dalla proiezione di OP sul piano xy. Vale r = ρ sin φ. Le coordinate x e y sono cateti del triangolo che si forma sul piano xy e che ha come ipotenusa proprio r, da cui x = r cos θ e y = r sin θ, vale a dire x = ρ sin φcosθ e y = ρ sin φ sin θ. Riassumendo, le coordinate sferiche di P sono date da x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ Viceversa, considerando la formula della distanza di un punto P dall’origine e sosituendo i 85
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Annamaria Mazzia Note di Analisi Ma
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INDICE 4.7 Estremi vincolati e molt
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Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
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