Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.5. Integrali doppi su domini generali
}
Figura 7.5: A sinitra: D =
{(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y 3 . Il dominio è normale rispetto
{
all’asse y. A destra: D = (x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, x 3 ≤ y ≤ √ }
x . Il dominio è normale rispetto
all’asse x.
Figura 7.6: Dominio dato dal triangolo di vertici (0, 3), (1, 1) e (5, 3)
G nel caso in cui il dominio di integrazione è normale rispetto all’asse x (Caso 1) si ha:
∫∫
∫ b ∫ g2(x)
f(x, y)dA = f(x, y)dydx
D
a
g 1(x)
G nel caso in cui il dominio di integrazione è normale rispetto all’asse y (Caso 2) si ha:
∫∫
∫ d ∫ h2(y)
f(x, y)dA =
f(x, y)dxdy
D
c
h 1(y)
Esaminiamo il Caso 1 (il discorso si ripete analogo per il Caso 2). Noi calcoliamo prima
l’integrale interno ∫ g 2(x)
g 1(x)
f(x, y)dy considerando x come costante, rispetto alla variabile y. Il
risultato ora dipende da x in quanto gli estremi di integrazione sono funzioni di x. Una volta
ottenuto questo integrale, integriamo il risultato rispetto alla variabile x con estremi a e b.
A volte, un dominio può essere considerato normale sia rispetto all’asse x sia rispetto
all’asse y. Altre volte può essere visto come unione di due domini. A seconda dell’integrale
che si deve fare, conviene scegliere di vederlo in un modo piuttosto che in un altro.
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