Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.1. Equazioni parametriche di una curva
Figura 5.2: Curva data da x = t 2 + t, y = 2t − 1
Osserviamo che una particella, la cui posizione è data dalle equazioni parametriche
x = f(t), y = g(t), si muove lungo la curva nella direzione di t crescente. Ciò significa che
una curva parametrica ha una direzione, un orientamento dato da valori crescenti
di t. Sul grafico la direzione del movimento della curva è indicata mediante freccette.
Inoltre, osserviamo che a valori di t equidistanti non corrispondono, sulla curva, punti
equidistanti: ciò è dovuto al fatto che la particella rallenta o aumenta la sua velocità al
variare di t.
Dalla Figura 5.2, appare evidente che la curva tracciata dalla particella è una parabola.
In effetti, se eliminiamo il parametro t dalle due equazioni parametriche, ricaviamo proprio
l’equazione di una parabola. Per far ciò, dalla seconda equazione y = 2t − 1 ricaviamo
t = 1 (y + 1) e sostituiamo il valore trovato per t nell’equazione in x. Troviamo
2
( ) 2 1
x =
2 (y + 1) + 1 2 (y + 1) = 1 4 y2 + y + 3 4
Riconosciamo l’equazione di una parabola.
Nell’esempio, t può variare in tutto R. Se invece t deve variare in un intervallo finito,
allora anche la curva risente degli effetti del parametro.
Esempio
Es. 5.1.2 Consideriamo le equazioni parametriche della curva precedente, ma con t ∈
[−1, 1]:
x = t 2 + t y = 2t − 1 − 1 ≤ t ≤ 1
Abbiamo solo una porzione della curva che abbiamo disegnata prima (si veda Figura 5.3).
59