Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. INTEGRALI
Esempio
Es. 7.12.1 Calcoliamo il volume del solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa
attorno all’asse x dell’insieme
{
D = (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 3 }
4 , x2 ≥ y, y ≥ 0, x ≥ 0
Per calcolare questo integrale dobbiamo applicare il primo teorema di Guldino. Il volume
richiesto sarà dato da
∫∫
V = 2π ydxdy
D
L’insieme D è dato dalla regione compresa al di sotto della parabola y = x 2 e all’interno
della circonferenza con centro nell’origine e raggio r = √ 3/2, che si trova nel primo
quadrante (si veda Figura 7.16).
Cerchiamo i punti di intersezione tra la parabola e la circonferenza risolvendo il sistema
⎧
⎨y = x 2
⎩x 2 + y 2 = 3 4
Sostituendo y = x 2 nella seconda equazione si ha x 2 + x 4 = 3 . Con la sostituzione
4
t = x 2 l’equazione diventa t 2 + t − 3 4 = 0 da cui t = −1 ± √ 1 + 3
= −1 ± 2 : quindi
2
2
le due radici sono t = 1 2 e t = −3 2 . Ritornando a x2 = t, si ha come soluzione del
primo quadrante il punto x = √ 1 e y = 1 . Per calcolare l’integrale, possiamo vedere il
2 2
dominio di integrazione come normale rispetto all’asse x, considerando l’unione di due
insiemi, il primo dato da 0 ≤ x ≤ √ 1 , e 0 ≤ y ≤ x 2 , e il secondo dato da √ 1 ≤ x ≤ 3 2 2 2 e
0 ≤ y ≤
√
3
4 − x2 .
Quindi l’integrale da calcolare va spezzato in due integrali su questi domini. Oppure,
si può vedere il dominio di integrazione normale rispetto all’asse y, con 0 ≤ y ≤ 1 2 e
√ y ≤ x ≤
√
3
4 − y2 .
In tal caso l’integrale diventa
Si ha
V =
V =
∫ 1/2
0
∫ 1/2
0
= − 1 2
∫ √ 3
4 −y2
√ y
ydxdy
y(√
3
4 − y2 − √ y)dy =
∫ 1/2
0
(−2y)√
3
4 − y2 dy −
∫ 1/2
0
∫ 1/2
0
y√
3
4 − y2 dy −
y 3/2 dy = − 1 2
∫ 1/2
0
∫ 1/2
0
y √ ydy
D( 3 4 − y2 )
√
3
4 − y2 dy − 2 5 y5/2 ∣ ∣∣∣
1/2
0
116