Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.12. Metodo dei coefficienti indeterminati
Consideriamo ora il termine noto b(x) = x+x 3 −e −x sin (2x). Osserviamo come il termine
noto possa essere visto come somma del polinomio P (x) = x + x 3 e della funzione
−e −x sin (2x).
Cerchiamo dunque un integrale particolare per l’equazione differenziale
y ′′ + 3y ′ + 2y = x + x 3
e un integrale particolare per l’equazione differenziale
y ′′ + 3y ′ + 2y = −e −x sin (2x)
Per il primo integrale, vediamo che il termine noto è un polinomio di terzo grado e
che il coefficiente a 0 ≠ 0, quindi l’integrale particolare è un polinomio di terzo grado
y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Derivando, si ha y ′ = 3ax 2 + 2bx + c e y ′′ = 6ax + 2b. Andando a
sostituire nell’equazione differenziale si ha
6ax + 2b + 3(3ax 2 + 2bx + c) + 2(ax 3 + bx 2 + cx + d) = x + x 3
Raccogliendo i termini con le stesse potenze di x a primo membro, abbiamo
2ax 3 + (9a + 2b)x 2 + (6a + 6b + 2c)x + 2b + 3c + 2d = x + x 3
Uguagliando i termini con le stesse potenze a primo e a secondo membro si ha:
⎧
2a = 1
⎪⎨
9a + 2b = 0
6a + 6b + 2c = 1
⎪⎩
2b + 3c + 2d = 0
Otteniamo a = 1/2, b = − 9 2 a = −9 1 − 6a − 6b
, c =
4 2
y = x3
2 − 9 4 x2 + 23 4 x − 51
8 .
= 23 4
, d =
−2b − 3c
2
= − 51 , da cui
8
Passiamo ora a trovare un integrale particolare per la seconda equazione differenziale
che abbiamo ricavato che ha come termine noto la funzione −e −x sin (2x). Riconducendoci
allo schema che abbiamo fatto per i vari casi di termini noto, questo si
riconduce alla funzione del tipo e αx sin (βx)P (x), dove α = −1, β = 2, P (x) = −1 (polinomio
di grado 0). Poichè −1 ± i2 non è radice dell’equazione caratteristica (che ha
nel nostro caso solo radici reali), dobbiamo cercare un integrale particolare del tipo
y = e −x (cos (2x)a + sin (2x)b) (devono essere Q 1 eQ 2
costanti).
Allora,
y ′ = −e −x (a cos (2x) + b sin (2x)) + e −x (−2a sin (2x) + 2b cos (2x))
= e −x ((2b − a) cos (2x) − (b + 2a) sin (2x))
polinomi di grado zero, cioè delle
y ′′ = −e −x ((2b − a) cos (2x) − (b + 2a) sin (2x))+
e −x (−2(2b − a) sin (2x) − 2(b + 2a) cos (2x))
= e −x ((−4b − 3a) cos (2x) + (4a − 3b) sin (2x))
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