Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

1.5. Altri teoremi
Teorema 1.5.5 (Esistenza e unicità del punto fisso) Data una funzione g di classe C 1 in
[a, b], con a ≤ g(x) ≤ b per ogni x ∈ [a, b], e con |g ′ (x)| ≤ m < 1 per ogni x ∈ [a, b] allora esiste ed è
unico il punto fisso della g in tale intervallo.
Dimostrazione. L’esistenza di almeno un punto fisso è assicurata dal teorema precedente
(le ipotesi del teorema precedente ci sono tutte). Supponiamo, allora, che esistano due
punti fissi ξ e η, con ξ ≠ η, per la funzione g. Si ha
|ξ − η| = |g(ξ) − g(η)|
Applicando il teorema del Valor Medio, esiste un punto c compreso tra ξ e η per cui
|g(ξ) − g(η)| = |g ′ (c)(ξ − η)| ≤ |g ′ (c)||ξ − η|
Ma per ipotesi |g ′ (c)| ≤ m < 1 da cui
|ξ − η| ≤ m|ξ − η| < |ξ − η|
Si arriva ad una contraddizione. L’assurdo deriva dall’aver supposto ξ ≠ η. Quindi ξ = η e il
punto fisso è unico. ✔
Teorema 1.5.6 (del Valor Medio del Calcolo Integrale) Se f ∈ C([a, b]) e g è integrabile in
[a, b] e g(x) non cambia segno in [a, b], allora esiste un punto ξ ∈]a, b[ tale che
∫ b
a
f(x)g(x) d x = f(ξ)
∫ b
a
g(x) d x
Per g ≡ 1, questo teorema ci dà il valore medio della funzione f sull’intervallo [a, b], dato
da f(ξ) = 1 ∫ b
b − a
a f(x) d x
Teorema 1.5.7 (di Rolle generalizzato) Sia f ∈ C([a, b]) n volte differenziabile in ]a, b[. Se f
si annulla in n + 1 punti distinti x 0 , x 1 , . . . , x n in ]a, b[, allora esiste un punto ξ ∈]a, b[ in cui la
derivata n-sima della f si annulla: f (n) (ξ) = 0.
Teorema 1.5.8 (Formula di Taylor) 1
Sia f ∈ C 2 ([a, b]) e sia x 0 un punto dell’intervallo [a, b]. Allora, per qualunque x ∈ [a, b] si può
scrivere:
f(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0) 2
f ′′ (ξ x )
2
dove ξ x è un opportuno punto di [a, b] che si trova sul segmento individuato da x 0 e x.
La formula appena scritta si dice formula di Taylor di centro x 0 nel punto x.
La formula di Taylor appena scritta si può generalizzare se la funzione f è derivabile n + 1
volte. Si ha così la formula polinomiale di Taylor di centro x 0 :
dove
f(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )
2!
R n (x) = f (n+1) (ξ x )
(x − x 0 ) n+1
(n + 1)!
(x − x 0 ) 2 + . . . + f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n + R n
n!
con ξ x un opportuno punto di [a, b] che si trova sul segmento individuato da x 0 e x.
1 Brook Taylor (1685 - 1731) fu un matematico inglese che sviluppò quello che oggi è chiamato calcolo delle
differenze finite. L’importanza del suo lavoro e, soprattutto, della formula conosciuta oggi con il suo nome, venne
riconosciuta solo nel 1772 da Lagrange.
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