Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. MASSIMI E MINIMI
Figura 4.9: Curve di livello della funzione f(x, y) = x 2 + 4y 2 e il vincolo x 2 + y 2 = 1.
Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ci permette di trovare gli estremi di una funzione
f(x, y) soggetta al vincolo Φ(x, y) = 0 (sempre che il problema ammetta soluzione). Per
applicare questo metodo deve essere ∇Φ(x, ⃗ y) ≠ 0.
Abbiamo detto che, se P 0 è un punto di estremo vincolato, il gradiente della f e della
funzione di vincolo sono tra loro paralleli, cioè le componenti dei due vettori gradiente
differiscono per una costante. Introduciamo questa costante mediante la variabile λ detta
moltiplicatore di Lagrange: vuol dire che f x (x 0 , y 0 ) = λΦ x (x 0 , y 0 ) e f y (x 0 , y 0 ) = λΦ y (x 0 , y 0 ).
Ora, per capire chi possa essere (x 0 , y 0 ), definiamo la funzione H(x, y, λ) = f(x, y)+λΦ(x, y),
che dipende dalle variabili x, y e λ. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange consiste dei
seguenti passi:
1. risolviamo il sistema di equazioni dato da
⃗∇H(x, y, λ) = 0
vale a dire:
⎧
⎪⎨ f x (x, y) + λΦ x (x, y) = 0
f y (x, y) + λΦ y (x, y) = 0
⎪⎩
Φ(x, y) = 0
(a meno del segno ritroviamo la condizione di parallelismo detta prima);
2. valutiamo la funzione f nella/e soluzione/i trovate e identifichiamo i valori di massimo
e minimo, (se esistono).
Esempio
Es. 4.7.2 Si devono cercare i valori estremi della funzione f(x, y) = x 2 + 4y 2 sul cerchio
x 2 + y 2 = 1.
In questo caso il vincolo è dato dall’equazione della circonferenza. Applichiamo il metodo
dei moltiplicatori di Lagrange, introducendo la funzione H(x, y, λ) = x 2 +4y 2 +λ(x 2 +y 2 −1)
54