Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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2. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI Figura 2.4: Distanza tra due vettori ⃗p e ⃗q o distanza tra due punti P e Q. Figura 2.5: A sinistra: somma e differenza tra punti in R 2 . A destra: prodotto di uno scalare per un punto. I vettori αQ, βQ, γQ e δQ sono messi sfalsati per ragioni pratiche di visibilità ma sono sulla stessa linea. Esempio Es. 2.2.6 Siano dati i due punti di R n , P (p 1 , p 2 , . . . , p n ) e Q(q 1 , q 2 , . . . , q n ) (usiamo questa notazione per rappresentare il punto P (o Q) di coordinate (p 1 , p 2 , . . . , p n ) (o (q 1 , q 2 , . . . , q n )). Allora il punto P + Q ha componenti (p 1 + q 1 , p 2 + q 2 , . . . , p n + q n ), mentre il punto P − Q è dato da (p 1 − q 1 , p 2 − q 2 , . . . , p n − q n ). Dato uno scalare α, il punto αP è dato da (αp 1 , αp 2 , . . . , αp n ). Si veda Figura 2.5 per vedere l’interpretazione geometrica lavorando tra vettori. Definizione 2.2.6 Dati due vettori ⃗x e ⃗y, si definisce prodotto scalare tra i due vettori il numero reale indicato con il simbolo ⃗x · ⃗y dato da 12 ⃗x · ⃗y = n∑ x i y i i=1
2.2. Definizioni preliminari Figura 2.6: Intervallo aperto ]a 1 , a 2 ]×]b 1 , b 2 [ Figura 2.7: Esempio di insieme limitato in R 2 . 2.2.3 Intorno di un punto, insieme aperto, chiuso, frontiera... Definizione 2.2.7 Dati due punti di R n , A (a 1 , a 2 , . . . , a n ) e B (b 1 , b 2 , . . . , b n ), con a i di R n di vertici A e B l’insieme dato da T = {P ∈ R n di coordinate (x 1 , x 2 , . . . , x n ) t. c. a i < x i di vertici A e B è dato dal rettangolo i cui punti (x, y) sono presi, rispettivamente, negli intervalli aperti ]a 1 , a 2 [ e ]b 1 , b 2 [, che possiamo indicare come ]a 1 , a 2 ]×]b 1 , b 2 [ (si veda Figura 2.6) Definizione 2.2.8 I ⊂ R n si definisce insieme limitato di R n se esiste un intervallo aperto che lo contiene. Passiamo ora a considerare l’intorno di un punto. In R sappiamo che vale la seguente definizione. Definizione 2.2.9 Dato x 0 ∈ R e ɛ > 0, l’insieme dei punti x sull’asse reale che hanno distanza da x 0 minore di ɛ è un intervallo aperto di centro x 0 e raggio ɛ che prende il nome di intorno di 13
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6. SUPERFICI PARAMETRICHE Figura 6.
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Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
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