Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. MASSIMI E MINIMI
Questo teorema è utile per trovare massimi e minimi assoluti di una funzione continua
in un insieme compatto I. Si può applicare questo metodo:
1. si calcola il valore della f nei punti critici della f che si trovano all’interno di I;
2. si studia la funzione sulla frontiera di I e si cercano i valori estremi della f sulla
frontiera;
3. il più grande dei valori trovati ai passi 1 e 2 rappresenta il valore assoluto massimo della
funzione; il più piccolo dei valori trovati rappresenta il valore minimo assoluto della
funzione. I corrispondenti punti sono rispettivamente i punti di massimo e minimo
assoluti della funzione.
Osserviamo, quindi, che la procedura per trovare i valori estremi assoluti di una funzione,
in un insieme compatto, è diversa dalla procedura per trovare gli estremi relativi di una
funzione mediante il test delle derivate seconde.
A volte, si cercano sia gli estremi assoluti sia gli estremi relativi di una funzione e, in
questo caso, vanno seguite entrambe le strade.
Esempio
Es. 4.4.1 Si devono trovare gli estremi assoluti della funzione f(x, y) = x 2 − 4xy + 4y sul
rettangolo D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4}.
L’insieme D è un insieme chiuso e limitato (il rettangolo di vertici A(0, 0), B(2, 0), C(2, 4),
D(0, 4)), la funzione è polinomiale, perciò continua. Ci troviamo nelle ipotesi del teorema
di Weierstrass, quindi esistono il massimo e il minimo assoluti della funzione in D.
Cerchiamo i punti critici interni: da f x = 2x − 4y e f y = −4x + 4, ponendo queste derivate
uguali a zero abbiamo il sistema di equazioni
{
2x − 4y = 0
4 − 4x = 0
Dalla seconda equazione ricaviamo x = 1, da cui, nella prima, 4y = 2, cioè y = 1 2 . Otteniamo
il punto critico P 0 (1, 1 2 ). Il punto P 0 si trova all’interno dell’insieme D (se così non fosse
non lo dovremmo prendere in considerazione). Calcoliamo f(P 0 ) = 1. Non dobbiamo vedere
se questo è un punto di massimo o minimo relativo (non è richiesto), quindi passiamo
a vedere cosa succede alla funzione sulla frontiera (se invece dovessimo calcolare anche
gli estremi relativi, a questo punto dovremmo applicare il test della derivata seconda). La
frontiera dell’insieme I è dato dall’unione dei segmenti AB, BC, CD e DA.
Il segmento AB ha equazione y = 0 con 0 ≤ x ≤ 2. Su questo segmento la funzione f si
riduce ad una funzione della sola variabile x, g(x) = f(x, 0) = x 2 , con 0 ≤ x ≤ 2. Si vede
facilmente (poichè g ′ (x) = 2x ≥ 0 nell’intervallo dato) che la g è una funzione crescente
in [0, 2]: il suo valore minimo si ha per x = 0 (g(0) = 0) e il suo valore massimo per x = 2
(g(2) = 4). Quindi dal segmento AB dobbiamo ricordare i punti A e B dove la funzione
vale 0 e 4 rispettivamente.
Il segmento BC ha equazione x = 2 con 0 ≤ y ≤ 4. Qui la funzione si riduce a h(y) =
f(2, y) = 4−8y +4y = 4−4y nell’intervallo [0, 4]. La funzione è decrescente (h ′ (y) = −4 < 0),
quindi assume valore massimo in 0 (h(0) = 4) e minimo in 4 (h(4) = −12). Per y = 0
ritroviamo il punto B, per y = 4 troviamo il vertice C.
Sul segmento CD, di equazione y = 4, con 0 ≤ x ≤ 2, la funzione diventa g(x) = f(x, 4) =
x 2 − 16x + 16 per x ∈ [0, 2]. La derivata g ′ (x) = 2x − 16 si annulla per x = 8 che è un punto
all’esterno dell’intervallo in cui deve variare la x (se fosse all’interno avremmo trovato
un punto critico da considerare ai fini del calcolo degli estremi della f). Si ha g ′ (x) < 0
per 2x − 16 < 0 cioè x < 8: quindi nell’intervallo [0, 2] la g è decrescente e assume valore
massimo in 0 (g(0) = 16) e valore minimo in 2 (g(2) = −12). Per x = 0 abbiamo il vertice D,
per x = 2 ritroviamo C.
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