Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
2. Moltiplichiamo l’equazione differenziale per m(x), ottenendo:
m(x)y ′ (x) + m(x)a(x)y(x) = m(x)b(x) (8.1)
3. Consideriamo ora la derivata di m(x). Si ha
dm(x)
dx
= deA(x)
dx
A(x) dA(x)
= e = m(x) dA(x)
dx
dx
ma essendo A(x) una primitiva di a(x) vuole dire che dA(x)
dx
dm(x)
dx
= m(x)a(x)
= a(x), da cui si ricava
4. Facciamo ora la derivata di y(x)m(x). Abbiamo da fare la derivata di un prodotto di
funzioni, da cui
d(y(x)m(x))
dx
= dy(x)
dx
m(x) + y(x)dm(x) dx
La derivata di m(x) l’abbiamo appena ricavata, la derivata di y(x) è y ′ (x), da cui
d(y(x)m(x))
dx
= m(x)y ′ (x) + m(x)a(x)y(x)
Abbiamo trovato il primo membro dell’equazione 8.1.
5. Possiamo quindi riscrivere l’equazione 8.1 come
d(y(x)m(x))
dx
= m(x)b(x)
6. Integrando ambo i membri dell’equazione e dividendo poi per m(x) (diversa da zero
perche è e A(x) ) si ha
∫ ∫
dy(x)m(x)
dx = m(x)b(x)dx + costante
dx
∫
y(x)m(x) = m(x)b(x)dx + costante
y(x) = 1 (∫
)
m(x)b(x)dx + costante
m(x)
7. Riscrivendo la funzione m(x) come e A(x) si ha
(∫
)
y(x) = e −A(x) e A(x) b(x)dx + costante
L’integrale è generale perchè dipende da una costante.
Osserviamo, inoltre, che se a(x) e b(x) sono continue in un certo intervallo [a, b], allora il
problema di Cauchy che possiamo associare a questa equazione differenziale si può risolvere
globalmente in [a, b]×R poichè valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicità globale (la
funzione f = b(x)−a(x)y è continua e la derivata ∂f = −a(x) è continua e limitata (poichè a(x)
∂y
dipende solo da x ed è continua in un intervallo chiuso allora ammette minimo e massimo,
cioè è limitata).
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