Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9.5. Forme differenziali lineari esatte
Figura 9.3: Le curve +γ 1 e +γ 2 hanno gli stessi estremi P 0 e P . La curva −γ 2 opposta a +γ 2
ha come estremi P e P 0 .
3. Se γ è una qualunque curva generalmente regolare, chiusa e contenuta in A, allora
∫
ω = 0
+γ
Dimostrazione. Di questo teorema, dimostriamo che (1) ⇒ (2), (2) ⇒ (3) e (3) ⇒ (2).
(1) ⇒ (2) Sia per ipotesi ω = Xdx + Y dy esatta. Siano dati due punti P 0 e P in A e
sia +γ una curva generalmente regolare che ha P 0 come primo estremo e P come secondo
estremo. In forma parametrica, le equazioni della curva +γ siano
x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b
Quindi (x(a), y(a)) = (x 0 , y 0 ) = P 0 , e (x(b), y(b)) = (x, y) = P .
Sia F una primitiva di ω (esiste perchè ω è esatta: vuol dire che dF = ω, poichè F x = X e
F y = Y .
Ma allora per il teorema fondamentale del calcolo degli integrali (si veda teorema 9.4.1)
∫ ∫
ω = dF = F (P ) − F (P 0 )
+γ
+γ
L’integrale non dipende dalla particolare curva +γ ma solo dagli estremi della curva e dalla
primitiva F . Perciò, date due curve +γ 1 e +γ 2 il risultato dell’integrale non cambia (si veda
Figura 9.3). La (2) è provata.
(2) ⇒ (3) Sia +γ una curva generalmente regolare chiusa data da equazioni
parametriche
x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b
Si fissi un punto t ′ interno all’intervallo [a, b] e si considerino le due curve che si ottengono
da +γ facendo variare il parametro t in [a, t ′ ] e in [t ′ , b] in modo che +γ sia dato dall’unione
di queste due curve, che chiamiamo, rispettivamente +γ 1 e +γ 2 . La curva +γ 1 ha come
primo estremo P 0 e come secondo estremo il punto T = (x(t ′ ), y(t ′ ). La curva +γ 2 ha come
primo estremo T e come secondo estremo P 0 (essendo la curva chiusa e quindi (x(a), y(a)) =
(x(b), y(b))).
La curva opposta a +γ 2 è la curva −γ 2 e ha, quindi, come primo estremo P 0 e come
secondo estremo T .
Dunque, le curve +γ 1 e −γ 2 hanno gli stessi estremi P 0 e T . Ora, per l’ipotesi (2) sappiamo
che ∫ ∫
ω = ω
+γ 1 −γ 2
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