Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.8. Le equazioni differenziali lineari
G Se l’equazione differenziale del secondo ordine non dipende esplicitamente da x
F (y, y ′ , y ′′ ) = 0
allora si pensa y come variabile indipendente e si si pone z(y) = y ′ .
Allora (considerando che y è funzione di x e z è funzione di y):
y ′′ = dy′
dx = dz(y)
dx
= dz dy
dy dx = z′ z
Quindi l’equazione differenziale diventa
F (y, z, z ′ z) = 0
Se si trova un’integrale generale di questa equazione, z = z(y, cost), allora, per trovare
y, dalla relazione y ′ = z(y, cost) si ricava la soluzione y osservando che questa che
abbiamo appena scritto è un’equazione differenziale a variabili separabili.
G Ci sono molti altri casi di equazioni differenziali non lineari che presentano una forma
particolare e che possono essere risolte mediante tecniche ad hoc. Non stiamo però a
studiarle in questa sede.
8.8 Le equazioni differenziali lineari
Riprendiamo l’esempio visto quando abbiamo introdotto le equazioni differenziali:
y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)
dove i coefficienti a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x) e b(x) sono assegnate funzioni continue, che dipendono
dalla variabile x, mentre y è la funzione incognita e compare insieme alle sue derivate
fino a quella di ordine n.
Un’equazione differenziale scritta in questa forma, prende il nome di equazione
differenziale lineare, perchè è lineare rispetto a y e alle sue derivate.
G Se ciascuna funzione a i (x), per i = 0, 2, . . . , n−1 è costante rispetto alla variabile x, allora
l’equazione differenziale prende il nome di equazione differenziale lineare a coefficienti
costanti.
G Se b(x) = 0 per ogni valore di x, allora l’equazione si dice equazione differenziale
omogenea.
G Se b(x) ≠ 0 allora l’equazione si dice equazione differenziale non omogenea.
L’equazione che si ha ponendo b(x) ≡ 0 si dice equazione omogenea associata
all’equazione di partenza in cui b(x) ≠ 0.
Per quanto riguarda il problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale lineare
di ordine n, vale il seguente teorema.
Teorema 8.8.1 Se le funzioni a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x) sono continue in un intervallo [a, b], allora
il problema di Cauchy
⎧
y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)y(x 0 ) = y 0
y ⎪⎨
′ (x 0 ) = y 0
′
y ′′ (x 0 ) = y 0
′′
.
⎪⎩
y (n−1) (x 0 ) = y (n−1)
0
ammette sempre un’unica soluzione y(x) qualunque sia il punto (x 0 , y 0 , y ′ 0, . . . , y (n−1)
0 ) associato
alle condizioni iniziali.
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