Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 5
Le curve
A quelli che non conoscono la
matematica è difficile
percepire, come una
sensazione reale, la bellezza, la
profonda bellezza della Natura.
Se volete conoscere la Natura,
apprezzarla, è necessario
comprendere il linguaggio che
essa parla.
Richard Phillips Feynman
(1919-1988)
5.1 Equazioni parametriche di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Grafico di una curva parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Parametrizzare una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Tangente ad una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Lunghezza di un arco di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.6 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.7 La curva cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.8 Sistema di coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.9 Curve in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.9.1 La curva cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.10Lunghezza di una curva polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.10.1Lunghezze di alcune curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.11Funzioni a valori vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.12Le curve riviste come funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.13Retta tangente ad una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.14Curve orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.15Di nuovo sulla lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.16L’ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Equazioni parametriche di una curva
Supponiamo che una particella si muova lungo una curva γ come quella mostrata in Figura
5.1. Non riusciamo a descrivere la curva mediante un’equazione della forma y = f(x)
(cioè attraverso il grafico di una funzione) perchè ci sono diverse rette verticali che intersecano
la curva più di una volta (mentre per una funzione del tipo y = f(x), ad ogni valore di
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