Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9. FORME DIFFERENZIALI
Abbiamo ritrovato la definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale, dove i
coefficienti della forma differenziale sono le componenti del vettore ⃗ F .
Un esempio in cui vediamo applicata una forma differenziale in fisica è il lavoro compiuto
da un campo di forze. Se consideriamo una particella che si muove lungo una curva, indicando
con ⃗s la distanza percorsa dalla particella lungo la curva +γ, e con ⃗ F = (X, Y ) una
forza che agisce sulla particella mentre essa si sposta di d⃗s, si definisce lavoro elementare
eseguito da ⃗ F il prodotto scalare:
dL = ⃗ F · d⃗s
In coordinate cartesiane, e limitandoci al caso bidimensionale, si può scrivere
dL = Xdx + Y dy
Il lavoro elementare è dunque una forma differenziale.
Il lavoro totale lungo tutta la curva +γ è invece definito tramite l’integrale della forma
differenziale dL:
∫ ∫ b
L = dL = X(x(t), y(t))dx + Y (x(t), y(t))dy
+γ
a
9.4 Teorema fondamentale per gli integrali curvilinei
Teorema 9.4.1 Assegnata una funzione f(x, y), si consideri la forma differenziale data dal
suo differenziale: ω = df = f x dx + f y dy.
Data una curva regolare +γ espressa mediante rappresentazione parametrica da (x(t), y(t))
(o mediante la funzione vettoriale ⃗r) , si ha
∫
df = f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a))
✔
+γ
Questo risultato equivale anche a dire che
∫
∇f · d⃗r = f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a))
+γ
Dimostrazione.
Si ha
∫ ∫ b
df = (f x (x(t), y(t))x ′ (t) + f y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt
+γ
a
per le regole di derivazione delle funzioni composte
=
∫ b
a
df(x(t), y(t))
dt
dt
= f(x(t), y(t))| t=b
t=a
= f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a))
9.5 Forme differenziali lineari esatte
Definizione 9.5.1 Una forma differenziale ω = Xdx + Y dy (definita in un insieme aperto e di
classe C 0 ) si dice esatta se esiste almeno una funzione F (di classe C 1 ) tale che dF = ω vale a
dire se F x = X e F y = Y .
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