Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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4. MASSIMI E MINIMI Cambiando il segno alle diseguaglianze abbiamo la definizione di minimo relativo e minimo relativo proprio. Definizione 4.2.3 I valori massimo e minimo (assoluti o relativi) assunti dalla funzione si chiamano anche estremi (assoluti e relativi) della funzione. Un punto di estremo relativo interno all’insieme di definizione della funzione f si chiama punto di estremo relativo interno. Teorema 4.2.1 Se una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R 2 , I aperto, f ∈ C 1 (I), ammette un punto di massimo o minimo relativo interno nel punto P 0 (x 0 , y 0 ) allora esistono le derivate parziali della f in P 0 e vale f x (P 0 ) = f y (P 0 ) = 0 Dimostrazione. Sia P 0 (x 0 , y 0 ) un punto di massimo (o minimo) relativo interno. Poniamo g(x) = f(x, y 0 ). Come conseguenza la funzione g ammette in x = x 0 un punto di massimo (o minimo) relativo interno e, quindi, g ′ (x 0 ) = 0. Ma g ′ (x 0 ) = f x (x 0 , y 0 ). Perciò vale f x (x 0 , y 0 ) = 0. Allo stesso modo, posto h(y) = f(x 0 , y), si ha che y 0 è punto di massimo (o minimo) relativo interno per la funzione h, da cui h ′ (y 0 ) = 0. Ma h ′ (y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) e quindi f y (x 0 , y 0 ) = 0. ✔ Perciò, se P 0 è un punto di estremo relativo interno per la funzione f, necessariamente il gradiente della f in P 0 è il vettore nullo: ⃗∇(f)(P 0 ) = (00). Non vale il viceversa, tuttavia se dobbiamo cercare i punti di massimo e minimo relativo interni all’insieme di definizione di una funzione, dobbiamo analizzare quei punti che hanno il gradiente nullo perchè tra questi ci saranno i punti di massimo e minimo relativi. Se l’insieme di definizione della funzione è un insieme aperto, i punti di massimo e minimo relativo sono tutti punti interni all’insieme di definizione. Vale la seguente definizione. Definizione 4.2.4 Un punto P 0 (x 0 , y 0 ) tale che ∇(f)(P ⃗ 0 ) = (00) si dice punto critico (o stazionario) della funzione f. 4.3 Ricerca di massimi e minimi relativi Per capire se una funzione ha un punto di massimo o minimo relativo in un suo punto critico, viene in aiuto il cosiddetto test sulle derivate seconde. A tale scopo introduciamo la seguente definizione. Definizione 4.3.1 Data una funzione f ∈ C 2 (I), con I ⊂ R 2 , I aperto, e dato un punto P 0 ∈ I, si definisce hessiano della f in P 0 il determinante H f (P 0 ) della matrice ( ) fxx (P 0 ) f xy (P 0 ) f xy (P 0 ) f yy (P 0 ) Poichè la funzione è di classe C 2 , vale f xy = f yx . Quindi H f (P 0 ) = ∣ f xx(P 0 ) f xy (P 0 ) f xy (P 0 ) f yy (P 0 ) ∣ = f xx(P 0 )f yy (P 0 ) − (f xy (P 0 )) 2 Teorema 4.3.1 (Test sulle derivate seconde) Data una funzione f ∈ C 2 (I), con I ⊂ R 2 , I aperto, e dato P 0 punto critico per f, avente come hessiano H f (P 0 ) = f xx (P 0 )f yy (P 0 )−(f xy (P 0 )) 2 , si ha: 40
4.3. Ricerca di massimi e minimi relativi G se H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) > 0, allora P 0 è un punto di minimo relativo interno proprio e f(P 0 ) è un valore di minimo relativo; G se H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) < 0, allora P 0 è un punto di massimo relativo interno proprio e f(P 0 ) è un valore di massimo relativo; G se H f (P 0 ) < 0 allora P 0 non è nè punto di massimo nè punto di minimo relativo e si chiama punto di sella. Osserviamo che se vale H f (P 0 ) = 0, P 0 può essere punto di minimo, massimo o di sella: bisogna indagare caso per caso. Dimostrazione. Per dimostrare questo teorema, applichiamo la formula di Taylor di centro P 0 alla funzione f: f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f xx(ξ x , η y )(x − x 0 ) 2 + f xy (ξ x , η y )(x − x 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f yy(ξ x , η y )(y − y 0 ) 2 Considerando x = x 0 + h e y = y 0 + k, poichè P 0 è un punto critico, la formula si riduce a f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0 , y 0 ) + 1 2 f xx(ξ x , η y )h 2 + f xy (ξ x , η y )hk + 1 2 f yy(ξ x , η y )k 2 = f(x 0 , y 0 ) + 1 2 ( fxx (ξ x , η y )h 2 + 2f xy (ξ x , η y )hk + f yy (ξ x , η y )k 2) dove (ξ x , η y ) è un punto che non conosciamo, sul segmento di estremi P e P 0 . In un opportuno intorno di P 0 , per il teorema della permanenza del segno, se vale f xx (x 0 , y 0 ) > 0 vale anche f xx (x, y) > 0 nell’intorno di P 0 . Alla stessa maniera, sempre per lo stesso teorema sulla permanenza del segno, se H f (P 0 ) > 0 anche H f (P ) > 0 nell’intorno di P 0 . Supponiamo, allora di trovarci nelle ipotesi in cui H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) > 0. Allora la forma quadratica data da F 0 (h, k) = f xx (P 0 )h 2 + 2f xy (P 0 )hk + f yy (P 0 )k 2 ha il determinante della matrice ad essa associata che vale det(A) = f xx (P 0 )f yy (P 0 )−(f xy (P 0 )) 2 cioè det(A) = H f (P 0 ). Poichè per ipotesi, H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) > 0, allora la forma quadratica è definita positiva. La stessa cosa vale per la forma quadratica definita in un opportuno intorno di P 0 , considerando il punto (ξ x , η x ) della formula di Taylor: la forma quadratica data da F ξ,η (h, k) = f xx (ξ x , η y )h 2 +2f xy (ξ x , η y )hk +f yy (ξ x , η y )k 2 è una forma quadratica positiva, cioè F ξ,η (h, k) > 0. Riprendendo la formula di Taylor, in un intorno di P 0 risulta quindi da cui cioè f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + 1 2 F ξ,η(h, k) f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = 1 2 F ξ,η(h, k) > 0 f(x, y) > f(x 0 , y 0 ). Il punto P 0 è perciò un punto di minimo relativo proprio. Analogamente si provano gli altri due casi: se l’hessiano in P 0 è positivo e f xx (P 0 ) < 0 allora la forma quadratica associata è definita negativa e, dalla formula di Taylor, risulta che P 0 è un punto di massimo relativo. Se invece l’hessiano è negativo, la forma quadratica 41
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Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
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