Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 9
Forme differenziali
Nel campo della matematica,
se trovo un nuovo approccio a
un problema, ci può essere
sempre un altro matematico
che sostiene di aver trovato
una soluzione migliore, o
semplicemente più elegante.
Negli scacchi se qualcuno
sostiene di essere più bravo di
me, io gli posso sempre dare
scaccomatto.
Emanuel Lasker (1868-1941)
9.1 Introduzione alle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2 Integrali delle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Applicazione delle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.4 Teorema fondamentale per gli integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.5 Forme differenziali lineari esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.6 Le forme differenziali lineari chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1 Introduzione alle forme differenziali
Consideriamo una curva regolare γ nel piano data da equazioni parametriche
x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b
Sia data una funzione f(x, y) dipendente da due variabili. Possiamo pensare di integrare la
funzione f sulla curva γ rispetto a x o rispetto a y (quindi non sull’arco di curva, ds, ma in
dx o dy).
Si ha l’integrale curvilineo di f rispetto a x dato da
∫
γ
f(x, y)dx =
∫ b
a
f(x(t), y(t))x ′ (t)dt
Si ha l’integrale curvilineo di f rispetto a y dato da
∫
γ
f(x, y)dy =
∫ b
a
f(x(t), y(t))y ′ (t)dt
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