Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4. MASSIMI E MINIMI
Dobbiamo poi moltiplicare il vettore riga (x, y) per il vettore colonna appena ottenuto (facendo
un prodotto scalare tra vettori) ricavando:
( ) ( )
a x y 11 x + a 12 y
= x(a
a 21 x + a 22 y
11 x + a 12 y) + y(a 21 x + a 22 y) = a 11 x 2 + a 12 xy + a 21 xy + a 22 y 2
In definitiva, abbiamo F (x, y) = a 11 x 2 + (a 12 + a 21 )xy + a 22 y 2 .
La matrice dei coefficienti della forma quadratica si può scrivere come una matrice simmetrica
(con a 12 = a 21 ). Se così non fosse, la si può rendere simmetrica prendendo come
coefficiente di riga 1 e colonna 2 (e di riga 2 e colonna( 1) la semisomma ) dei valori a 12 e a 21
a12 + a 21
della matrice non simmetrica: vale infatti a 12 + a 21 = 2
.
2
Esempio
Es. 4.1.1 Sia F (x, y) = x 2 + 10xy − 7y 2 . Possiamo scrivere questa forma quadratica in
forma matriciale ponendo A in forma non simmetrica:
F (x, y) = ( x y ) ( ( )
1 2 x
8 −7)
y
oppure possiamo scrivere A in forma simmetrica prendendo come valore per gli elementi
extra diagonali la semisomma dei corrispondenti elementi della matrice non simmetrica
F (x, y) = ( x y ) ( ( )
1 5 x
5 −7)
y
In entrambi i casi, il risultato è sempre lo stesso, la forma quadratica F (x, y) = x 2 +10xy −
7y 2 .
In generale, una forma quadratica in R 2 viene rappresentata utilizzando una matrice
simmetrica nella forma
F (x, y) = ( x y ) ( ( )
a b x
b c)
y
da cui
F (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 .
Nel caso dello spazio R n
seguente.
si generalizza la definizione di forma quadratica nel modo
Definizione 4.1.1 Una forma quadratica in R n è un polinomio omogeneo di secondo grado
nelle n variabili x 1 , x 2 , . . . , x n , a coefficienti reali. Una forma quadratica si può scrivere come
F (x 1 , x 2 , . . . , x n ) =
n∑
a ij x i x j
i,j=1
In forma matriciale si può scrivere come
⎛
⎞
a 11 a 12 . . . a
⎛ ⎞
1n
F (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ( x 1
)
a 21 a 22 . . . a 2n
x 1 x 2 . . . x n ⎜
⎟ ⎜x 2
⎟
⎝ . . . . . . ⎠ ⎝. . . ⎠
a n1 a n2 . . . a nn
x n
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