Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Esempio
Es. 3.3.2 Calcolare le derivate parziali prime della funzione f(x, y) = 3x 5 + 2 √ y − 10xy.
Per calcolare la derivata f x (x, y) trattiamo la y come una costante, da cui f x (x, y) = 15x 4 −
10y. Notiamo che la derivata rispetto a x di 2 √ y vale zero perchè la y è una costante.
Al contrario, per calcolare f y (x, y) dobbiamo ora trattare x come una costante, da cui
f y (x, y) = 1 √ y
− 10x.
3.4 Interpretazione delle derivate parziali
Sono possibili due interpretazioni sul significato delle derivate parziali prime.
G Se consideriamo la derivata parziale come la velocità di cambiamento della funzione
allora f x (x, y) rappresenta la velocità di cambiamento della funzione al variare di x
per y fissato, mentre f y (x, y) rappresenta la velocità di cambiamento della funzione al
variare di y per x fissato. Quindi se f x (x 0 , y 0 ) > 0 vuol dire che la funzione è crescente
in quel punto al variare di x, per y 0 fissato, mentre se f x (x 0 , y 0 ) < 0 vuol dire che la
funzione è decrescente in quel punto al variare di x, per y 0 fissato. Stesso discorso vale
su f y (x 0 , y 0 ): se f y (x 0 , y 0 ) > 0 allora la funzione è crescente in quel punto al variare di y,
per x 0 fissato, mentre se f y (x 0 , y 0 ) < 0 la funzione è decrescente in quel punto al variare
di y, per x 0 fissato. È possibile che una funzione sia crescente fissato y e decrescente
fissato x o viceversa.
G L’altra interpretazione, geometrica, estende il concetto di pendenza della retta tangente
che abbiamo per funzioni di una sola variabile, per cui f ′ (x 0 ) rappresenta la pendenza
della retta tangente alla funzione f(x) nel punto x 0 . Nel caso di funzioni di due variabili,
f x (x 0 , y 0 ) rappresenta la pendenza della traccia della funzione f(x, y) nel piano y = y 0 nel
punto (x 0 , y 0 ) (in altre parole è la pendenza della retta tangente alla curva che si ottiene
intersecando la superficie che rappresenta la funzione f(x, y), cioè il grafico della f, con
il piano verticale y = y 0 ), mentre f y (x 0 , y 0 ) rappresenta la pendenza della traccia della
funzione f(x, y) con il piano x = x 0 nel punto (x 0 , y 0 ).
3.5 Derivate parziali di ordine più elevato
Così come per le funzioni di una sola variabile è possibile definire le derivate di ordine
più elevato (derivata seconda, terza, quarta, n-sima), anche per le funzioni di più variabili è
possibile definire le derivate di ordine più elevato. Ci soffermiamo al caso di funzioni di due
variabili.
Data una funzione f(x, y), dal momento che abbiamo due derivate parziali prime f x e
f y , su ciascuna di queste funzioni possiamo pensare di applicare ancora la definizione
di derivata parziale rispetto a x e rispetto a y, ottenendo, in tal modo, quattro possibili
combinazioni.
Abbiamo le seguenti scritture:
(f x ) x = f xx = ∂ ( ) ∂f
∂x ∂x
(f x ) y = f xy = ∂ ( ) ∂f
∂y ∂x
= ∂2 f
∂x 2
= ∂2 f
∂y∂x
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