Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.10. Integrali curvilinei
Si ha, inoltre, che il volume di una regione tridimensionale E è dato da un integrale triplo
e, precisamente
∫∫∫
volume(E) = dV
E
Se la regione di integrazione E è più generale, le tecniche di integrazione sono estese su
tre possibili tipi di dominio:
1. Primo caso: E = {(x, y, z) t.c. (x, y) ∈ D, u 1 (x, y) ≤ z ≤ u 2 (x, y)}, dove D è un regione nel
piano xy (che a sua volta può essere visto come un dominio normale rispetto all’asse x o
rispetto all’asse y). La regione E viene detta normale rispetto al piano xy e l’integrazione
per fili.
∫∫∫
∫∫ [ ∫ ]
u2(x,y)
f(x, y, z)dV =
f(x, y, z)dz dA
E
D
u 1(x,y)
2. Secondo caso: E = {(x, y, z) t.c. (y, z) ∈ D, u 1 (y, z) ≤ x ≤ u 2 (y, z)}, dove D è un regione
nel piano yz (che a sua volta può essere visto come un dominio normale rispetto all’asse
y o rispetto all’asse z). La regione E viene detta normale rispetto al piano yz. Se si riesce
a vedere l’insieme D come normale rispetto all’asse z allora si parla di integrazione per
strati o per sezione.
∫∫∫
∫∫ [ ∫ ]
u2(y,z)
f(x, y, z)dV =
f(x, y, z)dx dA
E
D
u 1(y,z)
3. Secondo caso: E = {(x, y, z) t.c. (x, z) ∈ D, u 1 (x, z) ≤ y ≤ u 2 (x, z)}, dove D è un regione
nel piano xz (che a sua volta può essere visto come un dominio normale rispetto all’asse
x o rispetto all’asse z). La regione E viene detta normale rispetto al piano xz. Se l’insieme
D lo si può vedere come normale rispetto all’asse z allora si parla di integrazione
per strati o per sezione.
∫∫∫
∫∫ [ ∫ ]
u2(x,z)
f(x, y, z)dV =
f(x, y, z)dy dA
E
7.10 Integrali curvilinei
D
u 1(x,z)
Un integrale curvilineo (o di linea) ha lo scopo di integrare una funzione di due (o tre)
variabili su un insieme di integrazione dato da una curva γ.
Ci soffermiamo al caso bidimensionale (quindi funzioni di due variabili e curve nel piano
xy).
Consideriamo una curva γ regolare (la funzione vettoriale f che la rappresenta è continua
e la sua derivata è diversa da zero per ogni valore del parametro t.) Quindi f(t) = (x(t), y(t))
con a ≤ t ≤ b.
∫ L’integrale curvilineo di una funzione g(x, y) lungo la curva γ si denota con il simbolo
g(x, y)ds dove ds rappresenta il differenziale dell’ascissa curvilinea, dovuto al fatto che ci
γ
stiamo muovendo lungo la curva e
√
non su l’asse delle x o delle y.
(dx ) 2 ( ) 2 dy
Ricordiamo che ds = |f ′ (t)|dt = + dt
dt dt
Allora, andando a sostituire nell’integrale curvilineo e considerando la curva scritta in
forma parametrica si ha:
√
∫
∫ b
(dx ) 2 ( ) 2 dy
g(x, y)ds = g(x(t), y(t)) + dt
dt dt
γ
a
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