Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6.2. Piano tangente a una superficie parametrica
Quindi se abbiamo due vettori ⃗a e ⃗ b che si trovano sul piano di cui vogliamo scrivere l’equazione,
il loro prodotto vettoriale è il vettore normale al piano e può essere utilizzato per
scrivere l’equazione del piano tangente.
Tornando al piano tangente ad una superficie parametrica in un punto P 0 , poichè abbiamo
trovato i due vettori tangenti ⃗r tu e ⃗r tv che si trovano sul piano tangente alla superficie,
allora il piano tangente è individuato dal vettore ⃗n = ⃗r tu × ⃗r tv (i due vettori non devono essere
tangenti tra loro).
Esempio
Es. 6.2.1 Sia data la superficie di equazioni parametriche
x = 2u 2 , y = 3v 2 , z = 3u + 5v
Vogliamo trovare l’equazione del piano tangente alla superficie nel punto P 0 (2, 3, 8).
Notiamo che questo punto si ha per u = v = 1.
Calcoliamo i due vettori tangenti ⃗r tu e ⃗r tv .
Poichè
∂x
∂u = 4u,
∂y
∂u = 0,
∂z
∂u = 3
valutando queste derivate in (1, 1) abbiamo
⃗r tu = (4, 0, 3)
Analogamente, poichè
∂x
∂v = 0,
∂y
∂v = 6v,
∂z
∂v = 5
valutando queste derivate in (1, 1) abbiamo
⃗r tv = (0, 6, 5)
Il prodotto vettoriale è
⃗i ⃗j ⃗ k
⃗r tu × ⃗r tv =
4 0 3
∣0 6 5∣ = (−18) ⃗i − (12)⃗j + (24) ⃗ k = (−18, −12, 24)
Quindi il piano tangente è dato da
a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0
dove (a, b, c) = (−18, −12, 24) e (x 0 , y 0 , z 0 ) = (2, 3, 8) = P 0 , da cui
o ancora
−18(x − 2) − 12(y − 3) + 24(z − 8) = 0
−18x + 36 − 12y + 36 + 24z − 192 = 0 =⇒ 24z − 12y − 18x − 120 = 0 =⇒ 2z − y − 1.5x − 10 = 0
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