Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9. FORME DIFFERENZIALI
Dimostrazione. Consideriamo due punti, P = (x, y) e P 0 = (x 0 , y 0 ) in A. Dalla definizione
di insieme connesso, sappiamo che esiste una linea poligonale che congiunge P e P 0 e che
si trova all’interno di A. Per semplicità supponiamo che la linea poligonale sia il segmento
congiungente i due punti. Allora, per il teorema di Lagrange, si ha
f(P ) = f(P 0 ) + f x (Q)(x − x 0 ) + f y (Q)(y − y 0 )
con Q punto che non conosciamo, che si trova sul segmento congiungente P e P 0 . Poichè
f x (Q) = f y (Q) = 0 (e questo qualunque sia il punto Q), si ha
f(P ) = f(P 0 )
Possiamo variare il punto P , lasciando fisso P 0 ma avremo sempre lo stesso risultato, quindi
la funzione assume valore costante.
Se, al posto di un segmento congiungente P e P 0 , abbiamo una linea spezzata, si ripete il
ragionamento su ciascun segmento arrivando alla stessa conclusione. ✔
Per le forme differenziali, vale il seguente lemma.
Lemma 9.5.2 Se F e G sono primitive, di classe C 1 , definite in un insieme aperto e connesso,
della stessa forma differenziale lineare ω, allora differiscono per una costante.
Dimostrazione. Poichè, per ipotesi, F e G sono primitive di ω = Xdx + Y dy, vuol dire che
F x = G x = X, F y = G y = Y . Consideriamo la funzione f = F − G. Questa funzione è definita
in un insieme aperto e connesso (come la forma lineare) ed è di classe C 1 (essendolo F e G).
Si ha f x = F x − G x = X − X = 0 e f y = F y − G y = Y − Y = 0, e questo qualunque sia (x, y) preso
nell’insieme di definizione. Ma, allora, sono soddisfatte le ipotesi del lemma precedente e
quindi f è una funzione costante: f(x, y) = cost. Di conseguenza, F (x, y) − G(x, y) = cost, cioè
F e G differiscono per una costante: F (x, y) = G(x, y) + cost. ✔
Consideriamo ora i seguenti teoremi sulle forme differenziali lineari esatte.
Teorema 9.5.1 Data ω = Xdx + Y dy una forma differenziale lineare, di classe C 0 e definita
in un insieme aperto e connesso, se F è una sua primitiva, allora ogni primitiva di ω è del tipo
F + cost con cost una costante.
Dimostrazione. Se F è una primitiva di ω, la funzione G = F +cost è anch’essa primitiva,
in quanto G x = F x = X e G y = F y = Y (poichè la derivata di una costante rispetto a x e a y
vale zero).
Supponendo di conoscere un’altra primitiva di ω, G, poichè si ha sempre G x = X e
G y = Y , per il lemma precedente, si ha ancora che G e F differiscono per una costante,
quindi G = F + cost. ✔
L’insieme delle primitive di una forma differenziale lineare ω in un insieme aperto e connesso
prende il nome di integrale indefinito, propriò perchè, nota una primitiva, tutte le altre
differiscono per una costante.
Teorema 9.5.2 Dato A ⊂ R 2 aperto e connesso e data una forma differenziale lineare ω di
classe C 0 in A, le seguenti proposizioni sono equivalenti:
1. ω è esatta.
2. Se P 0 e P sono due punti qualunque in A e +γ 1 e +γ 2 sono due curve generalmente
regolari orientate contenute in A, che hanno entrambe come primo estremo P 0 e come
secondo estremo P , allora
∫ ∫
ω = ω
+γ 1 +γ 2
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vale a dire l’integrale curvilineo dipende solo dagli estremi P 0 e P e non dal cammino
percorso.