Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

2. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
Figura 2.1: Grafici delle tre funzioni f 1 , f 2 e f 3 .
G Per n = 3 si ha lo spazio R 3 e il generico punto è indicato mediante la coppia (x, y, z),
rispettivamente ascissa, ordinata e quota del punto.
Esempi di funzioni di più variabili in R 2 sono:
G f 1 (x, y) = x + y
G f 2 (x, y) = |x| + |y|
G f 3 (x, y) = (x + y) cos (x + y)
Di queste funzioni è possibile fare il grafico: così come una funzione reale di una variabile
reale genera una curva nello spazio R 2 una funzione reale di due variabili reali genera una
superficie nello spazio R 3 .
Per il grafico di funzioni reali di tre o più variabili reali il discorso si complica perchè
va fatto in uno spazio che ha una dimensione in più rispetto a quello di partenza (che non
riusciamo quindi a visualizzare). In tal caso il grafico genera un’ipersuperficie. Esempi di
funzioni reali in R 3 sono:
G f 1 (x, y, z) = x 3 + xyz + y 2 + z
G f 2 (x, y, z) = sin (xyz)
G f 3 (x, y, z) = e x+y+z
2.2 Definizioni preliminari
Come per le funzioni di una sola variabile reale (funzioni scalari) sono stati definiti e
analizzati i concetti di continuità, differenziabilità, limite, integrale e derivata, anche per le
funzioni di più variabili possono essere fatti gli analoghi studi.
A tale scopo, dobbiamo introdurre alcune definizioni (che valgono in generale per uno
spazio R n ma che noi vedremo poi in particolare per gli spazi R 2 e R 3 )
Definizione 2.2.1 Si definisce funzione di n variabili reali una legge che assegna un unico
numero reale f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R a ciascun punto (x 1 , x 2 , . . . , x n ) contenuto in un sottoinsieme
D(f) di R n . L’insieme dei punti D(f) prende il nome di insieme di definizione o dominio della
funzione f. L’insieme di tutti i numeri reali f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) al variare dei punti nel dominio
prende il nome di insieme dei valori o codominio della f (o range, per usare il termine matematico
inglese) e si denota con R(f) oppure con f(A) se il dominio della funzione è stato indicato
con l’insieme A.
Per indicare una funzione f si possono usare le seguenti scritture:
f : D(f) −→ R(f) dove D(f) ⊂ R n , R(f) ⊂ R
f : A −→ B dove A ⊂ R n , B ⊂ R, f(A) ⊂ B
Per funzioni di una variabile reale, è usuale indicare la funzione con la notazione y = f(x),
dal momento che il valore della funzione viene rappresentato sull’asse delle y nel piano
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