Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.10. Piano tangente ad una superficie
Esempio
Es. 3.9.2 Sia z = f(x, y) = e 2x sin (y) con x = st e y = s 2 t.
In tal caso, applicando la formula abbiamo:
∂z
∂s = 2e2x sin (y)t + e 2x cos (y)(2s) = 2e 2st (t sin (s 2 t) + s cos (s 2 t))
∂z
∂t = 2e2x sin (y)s + e 2x cos (y)s 2 = se 2st (2 sin (s 2 t) + s cos (s 2 t))
3.10 Piano tangente ad una superficie
Per funzioni di una variabile, se facciamo uno zoom intorno ad un punto del grafico di
una funzione differenziabile, il grafico si discosta di poco dalla sua retta tangente in quel
punto e possiamo approssimare la funzione, in un intorno del punto, tramite l’equazione di
una retta.
Un discorso simile si può sviluppare per funzioni di due variabili. Qui lo zoom si deve
fare intorno ad un punto della superficie che rappresenta il grafico di una funzione differenziabile.
E il grafico si discosterà poco da un piano (il suo piano tangente in quel punto),
così che potremo approssimare la funzione, in un intorno del punto, tramite l’equazione del
piano tangente.
Sia S la superficie dell’equazione z = f(x, y), con f differenziabile e di classe C 1 . Sia
P 0 (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 ) un punto di S. Consideriamo le curve che intersecano i piani verticali
y = y 0 e x = x 0 sulla superficie S. Il punto di intersezione della due curve è proprio il punto
P 0 . Siano T 1 e T 2 le rette tangenti alle due curve nel punto P 0 (le pendenze di queste rette
sono date dalle derivate parziali rispetto a x e y). Allora il piano tangente alla superficie
S nel punto P 0 è definito come il piano che contiente entrambe le rette tangenti T 1 e T 2 .
Possiamo pensare a questo piano tangente come il piano in cui ci sono tutte le possibili
rette tangenti per P 0 alle curve che giacciono su S e passano attraverso P 0 (considerando le
derivate direzionali). Il piano tangente è quindi il piano che più approssima la superficie S
intorno al punto P 0 .
Un piano passante per il punto P 0 ha equazione nella forma
a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − f(x 0 , y 0 )) = 0
Dividendo per c e ponendo A = −a/c e B = −b/c, possiamo scrivere
z − f(x 0 , y 0 ) = A(x − x 0 ) + B(y − y 0 )
Se questa equazione deve rappresentare l’equazione del piano tangente a P 0 sulla superficie,
vuol dire che l’intersezione con il piano y = y 0 deve essere la retta tangente T 1 . Ponendo
y = y 0 , l’equazione si riduce a
z − f(x 0 , y 0 ) = A(x − x 0 ), y = y 0
Ora questa è l’equazione di una retta che ha pendenza A. Ma la pendenza della tangente T 1
è f x (x 0 , y 0 ). Perciò A = f x (x 0 , y 0 ).
Allo stesso modo, considerando il piano x = x 0 , il piano tangente si riduce a
z − f(x 0 , y 0 ) = B(y − y 0 ), x = x 0
che rappresenta la retta tangente T 2 con pendenza B = f y (x 0 , y 0 ).
Quindi l’equazione del piano tangente è data da
z − f(x 0 , y 0 ) = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ).
31