Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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9. FORME DIFFERENZIALI Abbiamo ritrovato la definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale, dove i coefficienti della forma differenziale sono le componenti del vettore ⃗ F . Un esempio in cui vediamo applicata una forma differenziale in fisica è il lavoro compiuto da un campo di forze. Se consideriamo una particella che si muove lungo una curva, indicando con ⃗s la distanza percorsa dalla particella lungo la curva +γ, e con ⃗ F = (X, Y ) una forza che agisce sulla particella mentre essa si sposta di d⃗s, si definisce lavoro elementare eseguito da ⃗ F il prodotto scalare: dL = ⃗ F · d⃗s In coordinate cartesiane, e limitandoci al caso bidimensionale, si può scrivere dL = Xdx + Y dy Il lavoro elementare è dunque una forma differenziale. Il lavoro totale lungo tutta la curva +γ è invece definito tramite l’integrale della forma differenziale dL: ∫ ∫ b L = dL = X(x(t), y(t))dx + Y (x(t), y(t))dy +γ a 9.4 Teorema fondamentale per gli integrali curvilinei Teorema 9.4.1 Assegnata una funzione f(x, y), si consideri la forma differenziale data dal suo differenziale: ω = df = f x dx + f y dy. Data una curva regolare +γ espressa mediante rappresentazione parametrica da (x(t), y(t)) (o mediante la funzione vettoriale ⃗r) , si ha ∫ df = f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a)) ✔ +γ Questo risultato equivale anche a dire che ∫ ∇f · d⃗r = f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a)) +γ Dimostrazione. Si ha ∫ ∫ b df = (f x (x(t), y(t))x ′ (t) + f y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt +γ a per le regole di derivazione delle funzioni composte = ∫ b a df(x(t), y(t)) dt dt = f(x(t), y(t))| t=b t=a = f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a)) 9.5 Forme differenziali lineari esatte Definizione 9.5.1 Una forma differenziale ω = Xdx + Y dy (definita in un insieme aperto e di classe C 0 ) si dice esatta se esiste almeno una funzione F (di classe C 1 ) tale che dF = ω vale a dire se F x = X e F y = Y . 144
9.5. Forme differenziali lineari esatte Figura 9.1: A, B e C sono esempi di insiemi connessi. Figura 9.2: L’insieme A costituito dall’unione dei tre insiemi non è un insieme connesso. Si dice anche che F è una primitiva di ω. Vediamo ora un particolare tipo di insieme che ci permette di stabilire alcune importanti proprietà per le forme differenziali, se definite su questi insiemi. Si tratta degli insiemi connessi. Definizione 9.5.2 Un insieme aperto A ⊂ R 2 si dice connesso se, qualunque siano i punti P e Q presi in A, esiste una linea poligonale che è contenuta tutta in A e che ha P e Q come estremi. Per funzioni definite su insiemi connessi vale questo Lemma. Lemma 9.5.1 Sia f una funzione di classe C 1 definita in un insieme aperto e connesso A di R 2 . Se, per ogni (x, y) ∈ A risulta f x (x, y) = f y (x, y) = 0, allora f è una funzione costante in A. 145
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Annamaria Mazzia Note di Analisi Ma
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INDICE 4.7 Estremi vincolati e molt
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1.5. Altri teoremi f f ′ f f ′
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2. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
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CAPITOLO 3 Limiti, continuità, dif
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3.1. Limite di una funzione di più
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3.2. Continuità di una funzione di
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3.3. Derivate parziali Nel primo ca
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3.6. Differenziabilità di una funz
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3.8. Derivata direzionale può scri
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3.10. Piano tangente ad una superfi
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3.11. Formula di Taylor Teorema 3.1
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CAPITOLO 5 Le curve A quelli che no
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5.1. Equazioni parametriche di una
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5.2. Grafico di una curva parametri
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5.10. Lunghezza di una curva polare
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5.11. Funzioni a valori vettoriali
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5.16. L’ascissa curvilinea poligo
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6. SUPERFICI PARAMETRICHE Figura 6.
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CAPITOLO 7 Integrali Compito della
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