Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.2. Continuità di una funzione di più variabili
Ci verrebbe da concludere che allora il limite esiste e vale 0. Ma la risposta non sarebbe
corretta perchè con le rette non abbiamo esaurito tutti i percorsi che può fare il punto
per avvicinarsi a (0, 0).
Proviamo ad avvicinarci a (0, 0) lungo la parabola x = ky 2 In tal caso abbiamo
lim
(ky 2 ,y)→(0,0)
8ky 4
k 2 y 4 + y 4 =
8k
k 2 + 1
In questo caso, il limite dipende dalla curva x = ky 2 e il valore non è più 0 ma cambia
al cambiare di k. Quindi il limite non esiste.
Esempio
Es. 3.1.4 Proviamo invece che
lim
(x,y)→(0,0)
4x 2 y
x 2 + y 2 = 0
In tal caso, non conviene scegliere particolari curve per mostrare che il limite vale 0 perchè
dovremmo dimostrare che qualunque sia il cammino per avvicinarsi a (0, 0) il limite è
sempre quello e, quindi, dovremmo lavorare su infiniti percorsi! In tal caso, dobbiamo
applicare la definizione di limite.
Ora, poichè x 2 ≤ x 2 +y 2 x 2
si ha
x 2 + y 2 ≤ 1, mentre da y2 ≤ x 2 +y 2 , ricaviamo |y| ≤ √ x 2 + y 2 .
Possiamo dunque dire che
4x 2 y
|
x 2 + y 2 − 0| = | 4x 2 y
x 2 + y 2 | ≤ |4y| ≤ 4√ x 2 + y 2
Dalla definizione di limite, preso ɛ > 0, dobbiamo provare che esiste δ > 0 tale che per
0 < √ x 2 + y 2 4x 2 y
< δ, risulta |
x 2 − 0| < ɛ.
+ y2 Se scegliamo δ = ɛ/4, abbiamo:
4x 2 y
|
x 2 + y 2 − 0| ≤ 4√ x 2 + y 2 < 4 ɛ 4 = ɛ
4x 2 y
Quindi abbiamo provato che |
x 2 − 0| < ɛ, cioè il limite della nostra funzione per
+ y2 (x, y) → (0, 0) vale esattamente 0.
3.2 Continuità di una funzione di più variabili
Definizione 3.2.1 Una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R n è continua in P 0 (P 0 ∈ I e punto di
accumulazione per I), se
lim f(P ) = f(P 0 )
P →P 0
Nel caso di funzioni di due variabili, si ha:
Definizione 3.2.2 Una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R 2 è continua in P 0 (x 0 , y 0 ) (P 0 ∈ I e punto
di accumulazione per I), se
lim f(x, y) = f(x 0, y 0 )
(x,y)→(x 0,y 0)
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