Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Sia Q(y) una primitiva di
dQ(y(x))
dx
= dQ(y(x))
dy
1
e P una primitiva di p. Vuol dire che
q(y)
dy
dx = 1
q(y(x)) y′ (x),
dP (x)
mentre = p(x). Tornando alla relazione 8.2, poichè abbiamo trovato le primitive di
dx
ciascuno dei due integrali, si ha
Q(y(x)) = P (x) + costante
Se è possibile esplicitare la y allora abbiamo una forma esplicita della soluzione (e questo
lo si ha se la Q è invertibile), altrimenti abbiamo una forma implicita della soluzione mediante
la relazione Q(y(x)) − P (x) = costante.
Esempio
Es. 8.6.1 Sia da risolvere il problema di Cauchy, y ′ = x2
con la condizione iniziale y(0) =
y2 4.
Risolviamo prima l’equazione differenziale, applicando il metodo di separazione delle
variabili (p(x) = x 2 , q(y) = 1 ). Separando le variabili infatti, abbiamo da risolvere:
y2 ovvero
∫ ∫
y 2 dy = x 2 dx
y 3
3 = x3
3 + costante
Risolvendo ora per y (che è funzione di x) otteniamo:
y(x) = (x 3 + 3costante) 1/3
Poichè la costante è arbitraria possiamo scrivere C = 3costante ricavando
y(x) = (x 3 + C) 1/3
Imponiamo ora la condizione iniziale y(0) = 4. Deve essere 4 = (C) 1/3 da cui C = 4 3 = 64.
Quindi la soluzione del problema è data da y(x) = (x + 64) 1/3 .
8.7 Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali
G Sia data un’equazione differenziale del secondo ordine, in cui manca il termine in y:
F (x, y ′ , y ′′ ) = 0
In tal caso, si pone z(x) = y ′ (x), da cui z ′ (x) = y ′′ (x).
trasformata diventa:
F (x, z, z ′ ) = 0
L’equazione differenziale
Abbiamo un’equazione differenziale del primo ordine nella incognita z. Una volta trovata
z soluzione dell’equazione differenziale, quindi z = z(x, cost 1 ), si ricava y cercando
una primitiva di z:
∫
y(x) = z(x, cost 1 )dx + cost 2
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