Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.16. L’ascissa curvilinea
poligonali così create, considerando tutte le possibili suddivisioni dell’intervallo [a, b] fatte
con un numero finito di punti.
Una curva che ha lunghezza finita si dice rettificabile.
Una curva regolare è rettificabile e la sua lunghezza è data da
L =
∫ b
a
|f ′ (t)|dt
Osserviamo che questa formula è esattamente quella che abbiamo ricavato in precedenza.
Per una curva regolare a tratti si ha un’analoga definizione, considerando la somma delle
lunghezze delle curve regolari di cui è composta.
Proposizione 5.15.1 L’integrale che fornisce la lunghezza di una curva non cambia se si
considera la curva opposta a quella data o se si considera la curva mediante rappresentazioni
equivalenti.
5.16 L’ascissa curvilinea
Data una curva regolare orientata +γ data da f : [a, b] → R n si definisca la funzione reale
s(t) data da
{∫ t
a |f ′ (u)|du per t ≠ a
s(t) =
0 per t = a
Questa funzione rappresenta la lunghezza dell’arco di curva tra f(a) e f(t) ed è detta ascissa
curvilinea. È una funzione crescente poichè s ′ (t) = |f ′ (t)| > 0 (essendo la curva regolare).
La sua inversa è una funzione Φ(s) tale che Φ(s) = t e tale che ∀s ∈ [0, L] (dove L è la
lunghezza della curva γ) si ha Φ(0) = a, Φ(L) = b e Φ ′ (s) > 0.
Ma, allora, f è equivalente alla funzione g = f ◦ Φ. La funzione g dipende dall’ascissa
curvilinea s.
La rappresentazione di una curva mediante l’ascissa curvilinea non dipende dalla
rappresentazione parametrica da cui si è partiti.
Proposizione 5.16.1 La derivata di g ha modulo unitario (o norma unitaria).
Dimostrazione.
|g ′ (s)| = |(f ◦ Φ) ′ (s)| = |f ′ (Φ(s))Φ ′ (s)| = |f ′ (Φ(s))|Φ ′ (s)
Non abbiamo considerato il modulo di Φ ′ (s) essendo questa funzione positiva e scalare.
Poichè Φ è la funzione inversa di s, per la derivata vale Φ ′ 1
(s) =
s ′ (la derivata della
(Φ(s))
inversa di una funzione è uguale al reciproco della derivata della funzione stessa), andando
a sostituire, si trova:
|g ′ (s)| = 1
✔
Considerando il differenziale dell’ascissa curvilinea si ha la cosiddetta lunghezza dell’arco
elementare:
ds = |f ′ (t)|dt
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