Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

2. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
(
Figura 2.3: Grafico della funzione z = f(x, y) = 5 1 − x 4 − y )
.
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Esempio
Es. 2.2.1 Sia data la funzione z = f(x, y) = x 3 + x 2 y. Questa funzione è ben definita per
tutti i valori di x e y perchè qualunque sia la coppia (x, y), la funzione assume sempre
valori reali. Quindi f è definita in tutto R 2 .
Esempio
(
Es. 2.2.2 Sia ora z = f(x, y) = 5 1 − x 4 − y )
per 0 ≤ x ≤ 2 e per 0 ≤ y ≤ 8 − 4x.
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In tal caso la funzione è assegnata su uno specifico dominio, quindi, anche se la funzione
è ben definita per tutti i valori di x e di y, il dominio in cui va studiata, in questo esempio,
è quello dato, vale a dire per x ∈ [0, 2], e per y che varia nell’intervallo [0, 8] quando x = 0,
mentre y = 0 quando x = 2. Ciò significa che l’insieme di definizione è dato dal triangolo
di estremi (0, 0), (0, 8) e (2, 0) (si veda Figura 2.3).
Esempio
Es. 2.2.3 Vediamo ora la funzione z = f(x, y) = √ 16 − x 2 − y 2 .
Questa funzione è ben definita solo quando l’espressione sotto radice è non negativa.
Perciò il suo dominio è dato dai punti (x,y) che soddisfano la condizione
16 − x 2 − y 2 ≥ 0 ⇐⇒ x 2 + y 2 ≤ 16
Questa condizione definisce il dominio: si tratta del cerchio di centro l’origine e raggio 4
nel piano xy. Infatti √ x 2 + y 2 è la definizione di distanza di un punto (x, y) dall’origine
del piano, da cui la condizione x 2 + y 2 ≤ 16 è equivalente a √ x 2 + y 2 ≤ 4 ovvero l’insieme
dei punti la cui distanza dall’origine è minore o uguale a 4, vale a dire il cerchio di centro
l’origine e raggio 4. Il grafico di questa funzione è una semisfera nel semipiano per z ≥ 0.
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