Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

4.7. Estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange
Figura 4.8: Sul prodotto scalare.
G la matrice
(
fx (P 0 )
)
f y (P 0 )
g x (P 0 ) g y (P 0 )
abbia determinante nullo: f x (P 0 )g y (P 0 ) − g x (P 0 )f y (P 0 ) = 0
Proposizione 4.7.1 Se P 0 (x 0 , y 0 ) è un estremo vincolato della funzione f soggetta al vincolo
g(x, y) = c e se P 0 è punto interno all’insieme di definizione della f e non è punto critico nè per
la f nè per la g, allora g(x, y) = c e f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) hanno in P 0 la stessa retta tangente.
Dimostrazione. Se scriviamo le equazioni delle rette tangenti a f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) e
alla curva g(x, y) = c nel punto P 0 , abbiamo f x (P 0 )(x − x 0 ) + f y (P 0 )(y − y 0 ) = 0 e g x (P 0 )(x −
x 0 ) + g y (P 0 )(y − y 0 ) = 0. Poichè P 0 è un estemo vincolato, vale la condizione f x (P 0 )g y (P 0 ) −
g x (P 0 )f y (P 0 ) = 0, ma questa relazione rappresenta una condizione di parallelismo tra le due
rette tangenti. 5 ✔
Il vincolo si può anche rappresentare come una funzione Φ(x, y) = 0 (caso particolare:
Φ(x, y) = g(x, y) − c). Il teorema si riscrive in maniera del tutto analoga.
La matrice
( )
fx (P 0 ) f y (P 0 )
g x (P 0 ) g y (P 0 )
prende il nome di matrice jacobiana della f e della g. Vale infatti la seguente definizione.
Definizione 4.7.1 Date le due funzioni f 1 (x, y) e f 2 (x, y) si definisce matrice jacobiana, la
matrice
⎛ ⎞
∂f 1 ∂f 1
∂(f 1 , f 2 ) ⎜
=
∂x ∂y ⎟
⎝ ⎠
∂(x, y)
∂f 2
∂x
∂f 2
∂y
Si definisce jacobiano, il determinante della matrice jacobiana.
Osserviamo che il teorema che abbiamo enunciato prima è un teorema che ci dà una
condizione necessaria ma non sufficiente.
5 Ricordiamo che, date due rette ax + by + c = 0 e a ′ x + b ′ y + c ′ = 0 la condizione di parallelismo è a a ′ = b b ′ ovvero
ab ′ − a ′ b = 0.
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