Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. LE CURVE
Figura 5.4: curva x = 4 cos (3t)
y = 1 + cos 2 (3t)
Esempio
Es. 5.2.2 Il cammino di una particella è dato da
x = 4 cos (3t)
y = 1 + cos 2 (3t)
Proviamo a descrivere questo cammino cercando di capire dove variano x e y e individuando
l’intervallo in cui varia t per percorrere la curva solo una volta (nel caso in cui
possa percorrerla più di una volta).
Per eliminare il parametro t, sfruttiamo il fatto che le due equazioni parametriche hanno
solo coseni, ricavando cos (3t) dalla prima equazione e sostituendo nella seconda:
cos (3t) = x 4
( x
) 2 x 2
y = 1 + = 1 +
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Ricaviamo una parabola. Inoltre
−1 ≤ cos (3t) ≤ 1 =⇒ −4 ≤ 4 cos (3t) ≤ 4 =⇒ −4 ≤ x ≤ 4
0 ≤ cos 2 (3t) ≤ 1 =⇒ 1 ≤ 1 + cos 2 (3t) ≤ 2 =⇒ 1 ≤ y ≤ 2
Proviamo ora per alcuni valori di t cosa si ricava per x e y:
t x y
0 4 2
π/2 0 1
π -4 2
3π/2 0 1
2π 4 2
L’arco di parabola viene ripetuto più volte come un pendolo.
Dagli esempi visti possiamo osservare che ci sono curve i cui punti (x, y) sono dati da un
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