Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.12. Solidi e superfici di rotazione
Figura 7.16: Insieme D da cui calcolare il volume del solido di rotazione attorno all’asse x.
Se la rotazione di D avviene attorno all’asse y, il volume del solido di rotazione è data da
∫∫
volume(I) = 2π xdxdy
D
perchè la circonferenza descritta dal baricentro ha raggio dato da x.
Definiamo, ora, la superficie di rotazione.
Sia γ una curva generalmente regolare del piano (x, y). Sia y > 0. Consideriamo l’asse
z ortogonale in (0, 0) al piano (x, y). Una rotazione del piano (x, y) intorno all’asse x (o y) fa
sì che la curva γ generi una superficie S nello spazio (x, y, z), che chiamiamo superficie di
rotazione.
Per misurare l’area di una superficie di rotazione si ha il
Teorema 7.12.2 (Secondo teorema di Guldino) L’area della superficie di rotazione S generata
dalla curva γ è uguale alla lunghezza della curva per la lunghezza della circonferenza
descritta nella rotazione dal baricentro di γ.
Sia γ data da equazioni parametriche x = x(t), y = y(t) con t ∈ [a, b] e di lunghezza L.
La superficie sia ottenuta mediante rotazione attorno all’asse x. Allora la circonferenza ha
raggio y con y = 1 ∫
L
γ yds = 1 ∫ b
L
a y(t)√ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt. Allora
area(S) = lunghezza della curva × lunghezza della circonferenza
area(S) = L2π y
area(S) = L2π 1 L
area(S) = 2π
∫ b
a
∫ b
a
y(t) √ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt
y(t) √ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt
Se la rotazione avviene attorno all’asse y invece si ha
area(S) = 2π
∫ b
a
x(t) √ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt
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