Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.8. Le equazioni differenziali lineari
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che L è un operatore lineare. Da
L(y 1 ) = 0, L(y 2 ) = 0, . . . L(y m ) = 0, e applicando la linearità di L, si ha
✔
L(c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . + c m y m ) = L(c 1 y 1 ) + L(c 2 y 2 ) + . . . L(c m y m )
= c 1 L(y 1 ) + c 2 L(y 2 ) + . . . + c m L(y m )
= 0
Teorema 8.8.3 Data l’equazione differenziale L(y) = 0 con le funzioni a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x)
continue in un intervallo [a, b], allora per ogni x 0 ∈]a, b[, la funzione identicamente nulla è l’unica
soluzione del problema di Cauchy L(y) = 0 con condizioni iniziali date da
y(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 0, . . . , y (n−1) (x 0 ) = 0
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal teorema di esistenza ed unicità del problema
di Cauchy, considerando che la funzione nulla risolve l’equazione differenziale con le
condizioni iniziali tutte nulle. ✔
Chiamiamo con il simbolo N l’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare
omogenea data mediante l’operatore L. Questo insieme prende il nome di spazio nullo
dell’operatore L. L’insieme N è uno spazio vettoriale sul campo dei reali.
8.8.1 Cosa è uno spazio vettoriale
Consideriamo un insieme N (non necessariamente quello di prima), costituito da funzioni
reali definite in R. Sia 0 lo zero di N, vale a dire la funzione identicamente nulla.
N è uno spazio vettoriale (sui reali), se:
G è possibile definire un’operazione interna + sugli elementi dell’insieme N, chiamata
somma, che gode della proprietà associativa e commutativa, per la quale esiste
l’elemento neutro (lo zero), e ogni elemento ha l’opposto.
G è possibile definire un’operazione esterna · degli elementi di N sui reali, chiamata
prodotto per la quale
– per ogni c 1 e c 2 in R e per ogni f in N, si ha (c 1 c 2 ) · f = c 1 · (c 2 · f)
– per ogni c 1 e c 2 in R e per ogni f in N, si ha (c 1 + c 2 ) · f = (c 1 · f) + (c 2 · f)
– per ogni c in R e per ogni f e g in N, si ha c · (f + g) = c · f + c · g
– per ogni f in N, si ha 1 · f = f
Un elemento dello spazio vettoriale prende il nome di vettore.
Siano ora y 1 , y 2 , . . . , y n n elementi dello spazio vettoriale N. Si dice combinazione lineare
dei vettori y 1 , y 2 , . . . , y n mediante i coefficienti c 1 , c 2 , . . . , c n di R, il vettore dato da
c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . c n y n .
Gli n vettori y 1 , y 2 , . . . , y n si dicono linearmente indipendenti se l’unica combinazione
lineare dei vettori y 1 , y 2 , . . . , y n che produce il vettore nullo è data da coefficienti tutti nulli:
c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . c n y n = 0 ⇐⇒ c 1 = c 2 = . . . = c n = 0
Se uno spazio vettoriale ha n vettori linearmente indipendenti allora si dice che lo spazio
ha dimensione n. I vettori linearmente indipendenti costituiscono una base dello spazio.
Ogni funzione dello spazio può essere ottenuta mediante una combinazione lineare della
base, cioè dei suoi vettori linearmente indipendenti.
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