Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. INTEGRALI
Figura 7.15: Area di D come integrale doppio
abbiamo
∫∫
D
dxdy =
=
∫ b ∫ g2(x)
a
∫ b
a
(
g 1(x)
dy)dx
(g 2 (x) − g 1 (x))dx
e, per quanto abbiamo appena visto
= area(D)
7.9 Cenni su integrali tripli
L’estensione del concetto di integrale di una funzione dipendente da due variabili ad una
funzione dipendente da tre variabili porta al cosiddetto integrale triplo: ∫∫∫ f(x, y, z)dV .
E
Il caso più semplice si ha quando il dominio di integrazione E è rappresentato da un
parallelepipedo [a, b] × [c, d] × [r, s].
Allora si ha:
∫∫∫
∫ s ∫ d ∫ b
f(x, y, z)dV =
f(x, y, z)dxdydz
E
=
=
= .
r c a
∫ b ∫ d ∫ s
a c r
∫ d ∫ s ∫ b
c
r
a
f(x, y, z)dzdydx
f(x, y, z)dxdzdy
Abbiamo 6 diverse possibilità di integrazione, prima rispetto a x, poi rispetto a y, poi rispetto
a z, oppure lungo y, x, z, o ancora... (tutte le possibili combinazioni che si hanno scambiando
l’ordine delle tre variabili). Il risultato che si ottiene non cambia (consideriamo l’integrale di
funzioni continue, in modo da estendere il teorema di Fubini).
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