Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.7. Cambiamento di variabili
Figura 7.12: Cambio di variabili per il calcolo di integrali doppi: trasformazione della regione
S nella regione R mediante la trasformazione regolare T .
Ritroviamo lo jacobiano delle due funzioni x e y rispetto a u e v:
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ . Perciò, area(R) ≈
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ ∆u∆v.
∫∫ Supponiamo, ora, di dover calcolare l’integrale di una funzione f(x, y) su un dominio R
f(x, y)dA. Sia data una trasformazione regolare che trasforma un insieme S del piano uv
R
nella regione R. Suddividiamo il dominio R in elementini R ij , ciascuno dei quali è immagine
di un rettangolino S ij di S. Su ciascuno di questi elementini R ij consideriamo un punto di
coordinate (x i , y j ) che è immagine, mediante la trasformazione T , del punto (u i , v j ) che si
trova sull’angolo in basso a sinistra del rettangolino S ij (si veda la Figura 7.12). Allora l’area
∆R ij può essere approssimata mediante la relazione
∆R ij ≈
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ ∆u∆v
dove ∆u e ∆v sono i lati del rettangolino S ij , mentre lo jacobiano è valutato in (u i , v j ). Allora
∫∫
m∑ n∑
f(x, y)dA ≈ f(x i , y j )∆R ij
R
≈
i=1 j=1
m∑
i=1 j=1
n∑
f(x(u i , v j ), y(u i , v j ))
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ ∆u∆v
A questo punto osserviamo che
m∑ n∑
∫∫
f(x(u i , v j ), y(u i , v j ))
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ ∆u∆v ≈
i=1 j=1
S
f(x(u, v), y(u, v)
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ dudv
Si arriva perciò al seguente teorema (che non dimostriamo, però tutti i discorsi appena
fatti ci portano a intuire che il risultato non può che essere così!).
Teorema 7.7.1 Sia data una trasformazione regolare T della regione S del piano uv alla regione
R del piano xy. Inoltre sia assegnata una funzione f continua in R. Supponiamo che le
regioni R e S siano domini normali rispetto all’asse x o y. Allora
∫∫
∫∫
f(x, y)dA = f(x(u, v), y(u, v)
∂(x, y)
∣
∣∂(u, v)
R
S
∣ dudv 105