Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

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1 Brevi richiami di analisi 1 1
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Identità trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Regole su funzione esponenziale e logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Derivate e integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Altri teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Funzioni reali di più variabili 7
2.1 Lo spazio R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Come determinare il dominio di una funzione di due variabili . . . . . . 9
2.2.2 Sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Intorno di un punto, insieme aperto, chiuso, frontiera... . . . . . . . . . . 13
3 Limiti, continuità, differenziabilità di funzioni di più variabili 17
3.1 Limite di una funzione di più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Continuità di una funzione di più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Interpretazione delle derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Derivate parziali di ordine più elevato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Differenziabilità di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8 Derivata direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.9 Derivazione nelle funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10Piano tangente ad una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.11Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Massimi e minimi 35
4.1 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Ricerca di massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Sui massimi e minimi assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.1 Equazione di una retta e vettore normale alla retta . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6.1 Significato del vettore gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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