Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.8. Area di un dominio
Esempio
Es. 7.7.2 Sia da calcolare ∫∫ 4x + 8ydA dove R è il parallelogramma di vertici A(−1, 3),
R
B(1, −3), C(3, −1) e D(1, 5). Si applichi la trasformazione x = 1 4 (u + v), y = 1 (v − 4u).
4
Il parallelogramma R è rappresentato in Figura 7.14. Se scriviamo le equazioni dei lati del
parallelogramma si trova facilmente che la retta per AB è data dall’equazione y + 3x = 0,
la retta per CD è data da y + 3x = 8, la retta per BC è x − y = 4 e infine quella per AD è
x − y = −4.
Da queste relazioni, si vede che ponendo u = x−y e v = y +3x, si ricava la trasformazione
assegnata x = 1 4 (u + v), y = 1 (v − 4u). Inoltre si vede che R è l’immagine del rettangolo S
4
delimitato dalle linee u = 4, u = −4, v = 0 e v = 8.
Se calcoliamo lo jacobiano delle funzioni x e y rispetto a u e v otteniamo
Allora
∫∫
∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 1
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ = 4
1
4
R
−3
4
1
4
∫∫
4x + 8ydA =
= 1 4
= 1 4
= 1 4
∣
(4 1 4 (u + v) + 81 4 (v − 3u) ) 1
4 dudv = ∫∫
S
∫ 4 ∫ 8
−4
∫ 4
0
(3v − 5u)dvdu = 1 4
−4(96 − 40u)du = 1 4
∫ 4
−4
S
[ 3
2 v2 − 5uv] v=8
[
96u − 20u
2 ] u=4
u=−4 = 192
(u + v + 2v − 6u) 1 4 dudv
du
v=0
7.8 Area di un dominio
Dagli integrali doppi si può ricavare un’altra considerazione geometrica, sull’area del
dominio di integrazione. Come abbiamo già visto tra le proprietà degli integrali doppi, si ha
∫∫
area(D) = dA
D
Proviamo a dimostrare questo risultato, supponendo che D sia un dominio normale rispetto
all’asse x, da cui a ≤ x ≤ b e g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (y). L’area compresa tra le curve g 2 (x) e
g 1 (x), vale a dire l’area di D, può essere calcolata proprio come la differenze degli integrali
delle due funzioni, tramite l’integrale
area(D) =
∫ b
a
(g 2 (x) − g 1 (x))dx
D’altra parte, dalla definizione di integrale doppio, considerando la funzione f(x, y) = 1,
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