Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.11. Equazioni lineari a coefficienti costanti
Esempio
Es. 8.11.1 Consideriamo un polinomio di secondo grado. Sappiamo che, dato un polinomio
di secondo grado P (z) = az 2 + bz + c, per trovare le radici del polinomio, cioè quei
valori di z per cui P (z) = 0 si ha la formula z = −b ± √ b 2 − 4ac
, dove la quantità sotto
2a
radice, b 2 − 4ac prende il nome di discrimante e viene indicato con il simbolo ∆.
GSe ∆ = b 2 − 4ac > 0 si hanno due radici reali distinte.
Esempio: P (z) = z 2 − 5z − 6.
In questo caso ∆ = 25 + 24 = 49, da cui z = 5 ± 7
2 . Si hanno due radici distinte: z 1 = 6 e
z 2 = −1.
GSe ∆ = b 2 − 4ac = 0 si hanno due radici reali coincidenti (una radice da contarsi due
volte, o con molteplicità due).
Esempio: P (z) = z 2 − 2z + 1. Qui ∆ = 4 − 4 = 0. Si ricava facilmente, o applicando la
formula, o riconoscendo che P (z) = (z − 1) 2 , che la radice è z = 1 da contarsi due volte,
cioè z = 1 è una radice con molteplicità doppia.
GSe ∆ = b 2 − 4ac < 0, non si hanno radici reali ma nel campo complesso, introducendo
l’unità immaginaria i = √ −1, per cui √ b 2 − 4ac = √ (−1)(4ac − b 2 ) = i √ 4ac − b 2 , essendo
ora 4ac − b 2 > 0.
Esempio: P (z) = z 2 + 2z + 3. In questo caso ∆ = 4 − 12 = −8 Sotto radice ho −8, quindi le
radici sono complesse.
z = −2 ± i2√ 2
2
= −1 ± i √ 2
Trovo due radici z 1 = −1 + i √ 2 e z 2 = −1 − i √ 2.
Queste due radici sono complesse e coniugate, perchè la parte immaginaria delle due
radici è una l’opposta dell’altra.
Un numero complesso, infatti, si può vedere come z = a + ib, con a e b numeri reali e i
l’unità immaginaria. Il coniugato di z = a + ib è dato da z = a − ib.
Per determinare l’integrale generale di un’equazione differenziale omogenea si vanno a
cercare le radici del polinomio caratteristico. Supponiamo che il polimonio caratteristico
abbia n radici reali tutte distinte tra di loro, γ 1 , γ 2 , . . . , γ n , allora le funzioni y(x) = e γix
sono soluzioni particolari dell’equazione differenziale. Infatti da y(x) = e γx si ha y ′ = γe γx ,
y ′′ = γ 2 e γx , . . . , y (n) = γ n e γx . Se andiamo a sostituire nell’equazione differenziale, ricaviamo
L(y) = L(e γx )
= γ n e γx + a n−1 γ n−1 e γx + . . . + a 1 γe γx + a 0 e γx
metto in evidenza e γx
= (γ n + a n−1 γ n−1 + . . . + a 1 γ + a 0 )e γx
= P (γ)e γx
ma γ è radice dell’equazione caratteristica
= 0
Quindi y = e γx è soluzione dell’equazione differenziale lineare omogenea.
In genere, però, un polinomio di grado n può avere radici reali che si ripetono (che hanno
una certa molteplicità), o radici reali insieme a radici complesse e coniugate (e anche queste
radici possono avere una certa molteplicità).
Per ricavare l’integrale generale di un’equazione lineare omogenea, viene in aiuto il
seguente teorema.
133