Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8.6. Metodo di separazione delle variabili
Esempio
Es. 8.5.1 Risolviamo l’equazione differenziale y ′ + 4xy = x. In questo esempio a(x) = 4x
e b(x) = x. Applichiamo il procedimento appena descritto.
G A(x) = ∫ a(x)dx = ∫ 4xdx = 2x 2 da cui m(x) = e 2x2 .
G Moltiplichiamo l’equazione differenziale per m(x) ricavando:
e 2x2 y ′ (x) + e 2x2 4xy(x) = e 2x2 x
G Abbiamo allora
dy(x)e 2x2
dx
= e 2x2 x
G Integrando ambo i membri e dividendo poi per e 2x2 si ha
∫
y(x) = e −2x2 e 2x2 xdx
Dobbiamo quindi calcolare ∫ e 2x2 xdx: considerando che la derivata dell’esponente è
4x, basta moltiplicare e dividere per 4 ottenendo:
∫
e 2x2 xdx = 1 ∫
4xe 2x2 dx = 1 ∫
D(2x 2 )e 2x2 dx = 1 + costante
4
4
4 e2x2
Quindi
y(x) = e −2x2 ( 1 4 e2x2 + costante) = 1 4 + Ce−2x2
dove C rappresenta la costante.
8.6 Metodo di separazione delle variabili
Se un’equazione differenziale del primo ordine può essere scritta nella forma
y ′ (x) = p(x)q(y)
con p(x) e q(y) continue, allora l’equazione si dice a variabili separabili.
Vediamo come si risolve questa equazione nel caso in cui q(y) ≠ 0 per ogni y. In tal caso,
possiamo dividere ambo i membri per q(y), ottenendo
y ′ (x)
q(y) = p(x)
Integriamo ambo i membri dell’equazione rispetto a x, ricavando:
∫
y ′ ∫
(x)
q(y(x)) dx = p(x)dx (8.2)
In modo equivalente possiamo scrivere anche
∫
∫
1
q(y) dy = p(x)dx
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