Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

More documents

Recommendations

Info

4. MASSIMI E MINIMI Figura 4.5: Curve di livello nelle mappe di meteorologia. Figura 4.6: Superficie f(x, y) = √ x 2 + y 2 (a sinistra) e le sue curve di livello (a destra). Essendo soddisfatte le ipotesi del teorema di Dini, esiste un’unica funzione definita implicitamente dalla F , y = g(x). Allora l’equazione della retta tangente alla F in P 0 ha equazione F x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + F y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0 Con lo stesso ragionamento fatto prima F x (x, y) = f x (x, y) da cui ricaviamo f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0 Quindi il vettore ⃗ ∇f(P 0 ) è un vettore perpendicolare (normale) alla retta tangente alla curva f(x, y) = c nel punto P 0 . ✔ 4.6.1 Significato del vettore gradiente Consideriamo una funzione f differenziabile. Da quanto abbiamo appena visto, il vettore gradiente nel punto P 0 (x 0 , y 0 ), ⃗ ∇f(P 0 ), è perpendicolare alla retta tangente alla curva f(x, y) = 50
4.6. Curve di livello Figura 4.7: Sul prodotto scalare. c che passa per P 0 . Più brevemente, possiamo dire che è perpendicolare alla curva di livello. Il vettore gradiente fornisce anche informazioni sulla direzione di massima crescita della funzione f. Infatti, dal momento che la derivata direzionale dice la velocità di cambiamento della f in quella direzione, noi possiamo calcolare la derivata direzionale della f in P 0 lungo tutte le possibili direzioni e vedere qual è il valore massimo e per quale direzione si ottiene. Per la formula del gradiente, si ha (considerando ⃗v vettore unitario) ∂f(P 0 ) ∂⃗v = ⃗ ∇f(P 0 ) · ⃗v = | ⃗ ∇f(P 0 )||⃗v| cos θ = | ⃗ ∇f(P 0 )| cos θ dove θ è l’angolo individuato dai vettori ∇f(P ⃗ 0 ) e ⃗v. Osserviamo che il prodotto scalare scritto in questa maniera è del tutto equivalente alla formula che abbiamo dato utilizzando le componenti dei vettori. 4 Poichè il massimo valore di cos θ è 1 e questo si ha quando θ = 0, vuol dire che il valore massimo della derivata direzionale ∂f(P 0) vale | ∇f(P ∂⃗v ⃗ 0 )| e si ha quando θ = 0 cioè quando ⃗v ha la stessa direzione di ∇f(P ⃗ 0 ). 4 Proviamo che, dati due vettori ⃗a = (a 1 , a 2 ) e ⃗ b = (b 1 , b 2 ), il prodotto scalare ⃗a · ⃗b = a 1 b 1 + a 2 b 2 si può scrivere, in modo del tutto equivalente come ⃗a ·⃗b = |⃗a|| ⃗ b| cos θ con θ l’angolo individuato dai due vettori ⃗a e ⃗ b. A tal proposito ricordiamo il teorema di Carnot (o del coseno) per cui dato un triangolo qualsiasi e dati due lati (che scriviamo come vettori) ⃗a e ⃗ b che formano un angolo θ, per il terzo lato ⃗c vale |⃗c| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos θ dove |⃗a|, | ⃗ b|, |⃗c| sono i moduli dei tre vettori (cioè le lunghezze dei lati del triangolo). Se consideriamo il vettore ⃗a + ⃗ b, applicando sia la regola del parallelogramma sia il teorema di Carnot, tenendo conto che adesso l’angolo compreso tra i due lati è π − θ (si veda Figura 4.7) e che cos (π − θ) = − cos θ, si ha |⃗a + ⃗ b| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos (π − θ) = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 + 2|⃗a|| ⃗ b| cos θ Da questa relazione ricaviamo |⃗a|| ⃗ b| cos θ = 1 “|⃗a + ⃗ b| 2 − |⃗a| 2 − | ⃗ b| 2” 2 Scrivendo in modo esplicito i moduli dei vettori, |⃗a+ ⃗ b| 2 = (a 1 +b 1 ) 2 +(a 2 +b 2 ) 2 , |⃗a| 2 = (a 1 ) 2 +(a 2 ) 2 e | ⃗ b| 2 = (b 1 ) 2 +(b 2 ) 2 , e sostituendo, si ha proprio |⃗a|| ⃗ b| cos θ = a 1 b 1 + a 2 b 2 Quindi il prodotto scalare può essere scritto sia in un modo che nell’altro. 51
Page 1:
Annamaria Mazzia Note di Analisi Ma
Page 4 and 5:
INDICE 4.7 Estremi vincolati e molt
Page 7 and 8: CAPITOLO 1 Brevi richiami di analis
Page 9 and 10: 1.5. Altri teoremi f f ′ f f ′
Page 11: 1.5. Altri teoremi Teorema 1.5.5 (E
Page 14 and 15: 2. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
Page 23 and 24: CAPITOLO 3 Limiti, continuità, dif
Page 25 and 26: 3.1. Limite di una funzione di più
Page 27 and 28: 3.2. Continuità di una funzione di
Page 29 and 30: 3.3. Derivate parziali Nel primo ca
Page 31 and 32: 3.6. Differenziabilità di una funz
Page 33 and 34: 3.7. Differenziale Dividendo per y
Page 35 and 36: 3.8. Derivata direzionale può scri
Page 37 and 38: 3.10. Piano tangente ad una superfi
Page 39: 3.11. Formula di Taylor Teorema 3.1
Page 42 and 43: 4. MASSIMI E MINIMI Dobbiamo poi mo
Page 44 and 45: 4. MASSIMI E MINIMI Viceversa, supp
Page 46 and 47: 4. MASSIMI E MINIMI Cambiando il se
Page 48 and 49: 4. MASSIMI E MINIMI Figura 4.1: Gra
Page 50 and 51: 4. MASSIMI E MINIMI Questo teorema
Page 52 and 53: 4. MASSIMI E MINIMI grado (supponen
Page 54 and 55: 4. MASSIMI E MINIMI Questa che abbi
Page 58 and 59: 4. MASSIMI E MINIMI 4.7 Estremi vin
Page 60 and 61: 4. MASSIMI E MINIMI Figura 4.9: Cur
Page 63 and 64: CAPITOLO 5 Le curve A quelli che no
Page 65 and 66: 5.1. Equazioni parametriche di una
Page 67 and 68: 5.2. Grafico di una curva parametri
Page 69 and 70: 5.3. Parametrizzare una curva solo
Page 71 and 72: 5.4. Tangente ad una curva Figura 5
Page 73 and 74: 5.6. Lunghezza di una curva Figura
Page 75 and 76: 5.6. Lunghezza di una curva sottoin
Page 77 and 78: 5.8. Sistema di coordinate polari F
Page 79 and 80: 5.9. Curve in coordinate polari Fig
Page 81 and 82: 5.10. Lunghezza di una curva polare
Page 83 and 84: 5.10. Lunghezza di una curva polare
Page 85 and 86: 5.11. Funzioni a valori vettoriali
Page 87: 5.16. L’ascissa curvilinea poligo
Page 90 and 91: 6. SUPERFICI PARAMETRICHE Figura 6.
Page 97 and 98: CAPITOLO 7 Integrali Compito della
Page 99 and 100: 7.2. Richiamo sugli integrali sempl
Page 101 and 102: 7.3. Integrali doppi su domini rett
Page 103 and 104: 7.5. Integrali doppi su domini gene
Page 105 and 106: 7.5. Integrali doppi su domini gene
Page 107 and 108:
7.6. Proprietà degli integrali dop
Page 109 and 110:
7.7. Cambiamento di variabili Figur
Page 111 and 112:
7.7. Cambiamento di variabili Figur
Page 113 and 114:
7.8. Area di un dominio Esempio Es.
Page 115 and 116:
7.10. Integrali curvilinei Si ha, i
Page 117 and 118:
7.11. Integrali di superficie deriv
Page 119 and 120:
7.12. Solidi e superfici di rotazio
Page 121 and 122:
Page 123:
Page 126 and 127:
8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARI
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
Page 146 and 147:
9. FORME DIFFERENZIALI Infatti poic
Page 148 and 149:
9. FORME DIFFERENZIALI Vale infatti
Page 150 and 151:
9. FORME DIFFERENZIALI Abbiamo ritr
Page 152 and 153:
9. FORME DIFFERENZIALI Dimostrazion
Page 154 and 155:
9. FORME DIFFERENZIALI Ma sappiamo
Page 157:
Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
show all

Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?