Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. INTEGRALI
Figura 7.4:
Dominio normale rispetto all’asse x (sinistra) e rispetto all’asse y (destra).
non si riduce ad un rettangolo ma può avere una forma più generale. Consideriamo il caso
in cui il dominio di integrazione sia un insieme limitato D (perciò esiste un rettangolo R che
lo contiene).
In tal caso l’integrale di una funzione f(x, y) sul dominio R si può ricondurre all’integrale
di una funzione F (x, y) sul rettangolo R così definita:
{
f(x, y) se (x, y) appartiene a D
F (x, y) =
0 se (x, y) appartiene a R ma non a D
Allora
∫∫
D
∫∫
f(x, y)dA =
R
F (x, y)dA
Da un punto di vista pratico, come calcolare questo integrale La frontiera dell’insieme
D deve potersi esprimere mediante funzioni continue di x o di y. Ci sono due casi da
considerare (si vedano Figure 7.4 e 7.5 per degli esempi)
1. Caso 1: l’insieme D è dato da
{
}
D = (x, y) ∈ R 2 t. c. a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)
Si dice che il dominio è normale rispetto all’asse x.
2. Caso 2: l’insieme D è dato da
{
}
D = (x, y) ∈ R 2 t. c. h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y), c ≤ y ≤ d
Si dice che il dominio è normale rispetto all’asse y.
Se il dominio è normale rispetto all’asse x, vuol dire che prendendo una retta x = x 0
con a ≤ x 0 ≤ b, (normale dunque all’asse x), i valori di y che sono compresi tra g 1 (x 0 ) e
g 2 (x 0 ) giacciono tutti all’interno del dominio di integrazione. Analogamente, nel caso in cui
il dominio sia normale rispetto all’asse y, prendendo la retta y = y 0 normale all’asse y, con
c ≤ y 0 ≤ d, si ha che tutti i punti di ordinata y 0 e di ascissa compresa tra h 1 (y 0 ) e h 2 (y 0 ) sono
all’interno del dominio di integrazione.
In questi casi, il teorema di Fubini applicato al rettangolo R in cui uno dei due lati
corrisponde con l’intervallo [a, b] o [c, d] a seconda che il dominio sia normale rispetto all’asse
x o y, si riduce ad un integrale iterato in cui gli estremi dell’integrale interno (da calcolare
per primo) sono dati proprio dalle due funzioni g 1 , g 2 , o h 1 , h 2 che delimitano la frontiera di
D, in quanto all’esterno la funzione F è nulla. Si ha il seguente teorema.
Teorema 7.5.1 (di Fubini) Data una funzione f(x, y) da integrare su un dominio D,
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