Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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4. MASSIMI E MINIMI Figura 4.9: Curve di livello della funzione f(x, y) = x 2 + 4y 2 e il vincolo x 2 + y 2 = 1. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ci permette di trovare gli estremi di una funzione f(x, y) soggetta al vincolo Φ(x, y) = 0 (sempre che il problema ammetta soluzione). Per applicare questo metodo deve essere ∇Φ(x, ⃗ y) ≠ 0. Abbiamo detto che, se P 0 è un punto di estremo vincolato, il gradiente della f e della funzione di vincolo sono tra loro paralleli, cioè le componenti dei due vettori gradiente differiscono per una costante. Introduciamo questa costante mediante la variabile λ detta moltiplicatore di Lagrange: vuol dire che f x (x 0 , y 0 ) = λΦ x (x 0 , y 0 ) e f y (x 0 , y 0 ) = λΦ y (x 0 , y 0 ). Ora, per capire chi possa essere (x 0 , y 0 ), definiamo la funzione H(x, y, λ) = f(x, y)+λΦ(x, y), che dipende dalle variabili x, y e λ. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange consiste dei seguenti passi: 1. risolviamo il sistema di equazioni dato da ⃗∇H(x, y, λ) = 0 vale a dire: ⎧ ⎪⎨ f x (x, y) + λΦ x (x, y) = 0 f y (x, y) + λΦ y (x, y) = 0 ⎪⎩ Φ(x, y) = 0 (a meno del segno ritroviamo la condizione di parallelismo detta prima); 2. valutiamo la funzione f nella/e soluzione/i trovate e identifichiamo i valori di massimo e minimo, (se esistono). Esempio Es. 4.7.2 Si devono cercare i valori estremi della funzione f(x, y) = x 2 + 4y 2 sul cerchio x 2 + y 2 = 1. In questo caso il vincolo è dato dall’equazione della circonferenza. Applichiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, introducendo la funzione H(x, y, λ) = x 2 +4y 2 +λ(x 2 +y 2 −1) 54
4.7. Estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange Il sistema da risolvere è ⎧ ⎪⎨ 2x + 2λx = 0 8y + 2λy = 0 ⎪⎩ x 2 + y 2 = 1 Dalla prima equazione ricaviamo x = 0 e λ = −1 mentre dalla seconda otteniano y = 0 e λ = −4. Sostituendo x = 0 nella terza equazione (il vincolo) abbiamo y 2 = 1 da cui y = ±1. Sostituendo y = 0 nel vincolo ricaviamo x = ±1. Il valore di λ non ci interessa perchè abbiamo trovato tutti i punti (x, y) che verificano il sistema di equazioni. Abbiamo P 0 (0, 1), P 1 (0, −1), P 2 (1, 0) e P 3 (−1, 0). Calcoliamo la f in questi punti: f(P 0 ) = f(P 1 ) = 4, f(P 2 ) = f(P 3 ) = 1. Il valore massimo sul vincolo è dato da 4, nei punti P 0 e P 1 . Il valore minimo sul vincolo è dato da 1 nei punti P 2 e P 3 . Controllando la Figura 4.9 dove ci sono le curve di livello della f e la circonferenza, si può vedere come i valori trovati applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange siano effettivamente quelli che corrispondono a punti di massimo e minimo della f sul vincolo, in quanto le rette tangenti alla curva di livello e alla circonferenza, nei punti trovati, coincidono. 55
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Annamaria Mazzia Note di Analisi Ma
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Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
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